数学_高考数学解三角形复习资料(2)

。

解法二：由sinA?cosA计算它的对偶关系式sinA?cosA的值。

?(sinA?cosA)2? ①

12 ?2sinAcosA??1

2?0??A?180?,?sinA?0,cosA?0.32 ?(sinA?cosA)2?1?2sinAcosA?,

②

。 。

① + ② 得 ① － ② 得 从而 tanA?sinA2?64????2?3。 cosA42?6以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

例4．（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

于 ，

AC的取值范围为 AC

的值等cosA

.

答案 2(2,3)

解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得

ACBCACAC?,??1??2. sin2?sin?2cos?cos?由锐角?ABC得0?2??90?0???45，

又0?180?3??90?30???60，故30???45??AC?2cos??(2,3).

23， ?cos??22

例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边

分别为a,b,c，且满足cosA25，AB?AC?3． ?25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值． 解 （1）因为cosAB?AC?3

A34A25，?cosA?2cos2?1?,sinA?，又由?25525得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?bcsinA?2

（2）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得

a2?b2?c2?2bccosA?20，?a?25

12

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、

b、c，已知a2?c2?2b，且sinAcosC?3cosAsinC,

求b

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2?c2?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在?ABC中sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2?b2?c2b2?c2?a2?3c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a2ab2bc

a2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.

解法二:由余弦定理得: a2?c2?b2?2bccosA.又a2?c2?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2

①

又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC

由正弦定理得sinB?sinC，故b?4ccosA 由①，②解得b?4.

bc ②

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练

题型4：三角形中求值问题

例7．?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，

cosA?2cosB?C取得最大值，并求出这个最大值。 2B+CπAB+CA

解析：由A+B+C=π，得2=2 －2，所以有cos2 =sin2。 B+CAAA122AcosA+2cos2 =cosA+2sin2 =1－2sin2 + 2sin2=－2(sin2 － 2)+ 3

2；

πA1B+C3

当sin2 = 2，即A=3 时, cosA+2cos2取得最大值为2。 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三

角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA25，AB?AC?3． ?25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 2554535又A?(0,?)，sinA?1?cos2A?，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所以bc?5，所以?ABC的面积为：bcsinA??5??2 （Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?25?1?2?3?25

点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力

题型5：三角形中的三角恒等变换问题

例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及bsinB的值。

c121245分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b=ac定理可求bsinB的值。

c2

b2可变形为

c=a，再用正弦

解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

在△ABC中，由余弦定理得：cosA=A=60°。

b2?c2?a22bc=

bc2bc=1，∴∠

2在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsinA，∵b2=ac，∠A=60°，

absinBb2sin60??∴=sin60°=3cac2。

解法二：在△ABC中，

由面积公式得1bcsinA=1acsinB。

22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。 ∴bsinB=sinA=

c32。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求

tanACAC?tan?3tantan的值。 2222解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，

从而

A?CA?C?3.由两角和的正切公式， ＝60°，故tan22AC?tan22?3。 得

AC1?tantan22tan所以tantanACAC?tan?3?3tantan, 2222ACAC?tan?3tantan?3。 2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，

将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 题型6：正、余弦定理判断三角形形状

例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 答案：C

解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径

例12．（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的

边分别为a、b、c，且sinA?（I）求A?B的值；

（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sin2A?510 ,sinB?510510 ,sinB?510

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