2006年高考考前复习资料高中数学立体几何部(4)

2. （如中）一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空

间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[1?(314?34?1)]?8??，除此之外，833在以正方体的棱为一条棱的12个1?1?4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为

1[1?1?4?(??12)?4]?48?12?。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：

4440(8???)4?8?1?2?5?6cm3。()

333．（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求： (1) cos(A1D,AM)；

(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小； (3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大

解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)

小.

为x轴，y轴，z轴.

?A1D?(0,8,?4) AM?(5,2,4)

∵A1D?AM?0 ∴cos?A1D,AM??0

(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，?A1D?平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面所成的角即是?DAN. 易知?DAN??AA1D?arctan2

(3) ∵AA1?平面ABCD，A1N?平面AMN，

∴AA1和NA1分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为?，则

??(AA1,NA1)??AA1N??AA1D?arccos5 54．（一中）点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B．

（Ⅰ）求?EOF的大小； （Ⅱ）求二面角E?OF?A的大小．

解法一：（Ⅰ）如图，垂足为G，过点F作则

D C D 过点E作EG⊥AC，

FH⊥AC，垂足为H，

EG?FH?2，

E O F E O A H M O G 因为二面角D－AC－B为直二面角， B A A C B E M G O B D A B F C GH?22．

D

E F H F C ?EF2?GH2?EG2?FH2?2EG?FHcos90?

?(22)2?(2)2?(2)2?0?12.

又在?EOF中，OE?OF?2，

OE2?OF2?EF222?22?(23)21?cos?EOF????．

2OE?OF2?2?22??EOF?120?．

（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴?EMG就是二面角E?OF?A的平面角．

?在Rt?EGM中，?EGM?90，EG?2，GM?1OE?1， 2∴tan?EMG?EG?2．∴?EMG?arctan2． GM所以，二面角E?OF?A的大小为arctan2． 解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，

????????则OE?(1,?1,2)，OF?(0,2,0)． ????????????????OE?OF1???????． ?cos?OE,OF??????2|OE||OF|??EOF?120?．

z D E O A x B F C y ??（Ⅱ）设平面OEF的法向量为n1?(1,y,z)． ????????????由n1?OE?0,n1?OF?0,得

?2?1?y?2z?0,解得y?0,z??． ?2??2y?0,??2)． 所以，n1?(1,0,?2???又因为平面AOF的法向量为n2?(0,0,1)，

???????????????n1?n233???cos?n1,n2???????．∴?n1,n2??arccos．

3|n1||n2|3所以，二面角E?OF?A的大小为arccos

3． 3C1B1A15．（蒲中）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧

与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。 解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，

0

MAC=45，MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠M0

棱长等于b，一条侧棱AA1∵AB=AC，∠MAB=∠AMB=900，∴AA1⊥面

AC2BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45=a，∴BMC周长为

2B22xa+a=(1+2)a，且棱长为b，∴S侧=(1+2)ab

2点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于

M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC?∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。

?6．（江安中学）如图在三棱柱ABC-A\'B\'C\'中，已知底面ABC是底角等于30，底边AC=43的等腰三角形，且

B\'C?AC,B\'C?22，面B\'AC与面ABC成45?，A\'B与AB\'交于点E。

1) 求证：AC?BA\'；

2) 求异面直线AC与BA\'的距离； 3) 求三棱锥B\'?BEC的体积。 正解：①证：取AC中点D，连ED，

1?E是AB\'的中点，?ED//B\'C?2

2?B\'C?AC,?DE?AC

?又??ABC是底角等于30的等腰?，

?BD?AC,BN?DE?D

?AC?面BDE,?AC?BE,即AC?BA\'

②解：由①知?EDB是二面角B\'?AC?B的一个平面角，

??EDB＝45?，ED?2,BD?ADtan30??23?在

3?2 3?DBE中：EB2?ED2?BD2?2ED?BDcos45??2?4?22???2?22?EB?2,??BDE是等腰Rt?,ED?BE,ED是异面直线AC与BA\'的距离，为2

③连A\'D,ED?EA\'?ED? 2,?A\'D?BD,又AC?面BED，A\'D?面BED,?A\'D?AC,?A\'D?面ABC且A\'D?2

VB\'?ABC?VB\'?BEC1118S?ABC?A\'D??(BD?AC)?A\'D?3 3323114?VC?BEB\'?VC?ABB\'\'?VB\'?ABC\'?3

223

误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后

7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，为N。求

4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

5) PC和NC的长；

6) 平面NMP和平面ABC所成二面

角）的大小（用反三角函数表示）

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展4的矩形，其对角线长为92?42?97 ②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1过CC1到点M的最短路线。 设PC＝x，则P1C＝x， 在

?错解。

为AA1的中点，P是BC上一设这条最短路线与C1C的交点

角（锐

开图是一个长为9，宽为

面AC1在同一平面上，点就是由点P沿棱柱侧面经

Rt?MAP3＋x)2?22?29,x?2 1中，（?MCP1C24??,?NC? MAP1A55面ABC的交线，作

③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平

NH?PP1于H，又CC1?平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CH?PP1。

??NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角。 1?PCP1?60?,?CH?1 2NC4在Rt?NCH中，tan?NHC??

CH5在Rt?PHC中，??PCH?误解：①不会找29 的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。

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