高考数学第一轮复习资料随机事件的概率

第39讲 随机事件的概率 第39讲 随机事件的概率 要点 梳 理 现的次数nA为事件A出现的频数，称事件AnA出现的比例fn(A)＝n为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件． (4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 考点剖析 随机事件的关系 【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 【解析】 件B，C是对立事件，故应选D. 【拓展练习】1.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 【解析】如图画3×4的坐标表格，x轴为基本事件(命中次数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 如图作6×3的坐标表格，x轴为基本事件(点数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。由图可知，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事

设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，由图可知A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?. 故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件． 随机事件的频率与概率 【例2】(2015·陕西文19)随机抽取一个年份，- 1 -

“功夫”文科第一轮复习资料 对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 4 5 6 7 日期 1 2 3 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 日期 8 9 10 11 12 13 14 天气 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 日期 15 16 17 18 19 20 21 天气 晴 晴 阴 雨 阴 阴 晴 日期 22 23 24 25 26 27 28 天气 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 日期 29 30 天气 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一13天，西安市在该天不下雨的概率为15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的“互邻日期对”有16个，其中后一天不下雨的有14个，所7以晴天的次日不下雨的频率为8. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的7概率为8. 【思维启迪】 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 【拓展练习】2. (2012·湖北文2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为( ) A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【解析】 数据落在[10，40)的频率为 2＋3＋4920＝20＝0.45，故选B. 互斥事件、对立事件的概率 【例3】(2015·湖北黄石二模文18）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设- 2 -

1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 思维点拨 事件A、B、C两两互斥． 【解析】 1101(1)P(A)＝1 000，P(B)＝1 000＝100， 501P(C)＝1 000＝20. 111故事件A，B，C的概率分别为1 000，100，20. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C. ∵A、B、C两两互斥， ∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋5061＝1 000＝1 000. 61故1张奖券的中奖概率为1 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A＋B) 9891??1＝1－?＝??1 000. 1000100??故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率989为1 000. 【思维升华】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件－的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．错误!错误! 【拓展练习】3.(2015·河南安阳二模5)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 【解析】“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件， ∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35，故选C. 第39讲 随机事件的概率 用正难则反思想求互斥事件的概率 【例4】(2012湖南文17)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购1至5至9至13至17件及4件 8件 12件 16件 以上 物量 顾客数x 30 25 y 10 (人) 结算时间 1 1.5 2 2.5 3 (分钟/人) 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知得25＋y＋10＝100×55%＝55，x＋30＝100×(1－55%)＝45，所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10 100＝1.9(分钟)． (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将201频率视为概率得P(A1)＝100＝5， 101P(A2)＝100＝10. 117P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－5－10＝10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分7钟的概率为10. 【温馨提醒】 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将所求

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