与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰. 刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数⋯⋯”. 显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨. 因而,这也阻碍了无理数的发现. 刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要计算方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质. 对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的影响很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统.
另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5 ] . 刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来, 即无须由于受到无限的困扰. 刘徽道“⋯⋯割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣⋯⋯”. 同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积) 中说道:“半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”) 的动作. 同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长. 这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致.
2.3 不可分量可积的思想
刘徽受《墨经》的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题. 在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的. 这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据. 他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L ,每个小等腰三角形的底边长为l ,面积为A . 刘徽以“不可分量可积”为前提容
易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L : Σl = L . 于是, Σrl = r Σln = L r = Σ2A
= 2 ΣA = 2 S0 ,“故以半周乘半径而为圆幂”:S0 =1/2L r.
2.4 目的是证明圆面积公式而非求圆周率
刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也. 为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序. 于是得到下表:
利用,S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,
得到:314×64/625< S0 < 314×169/625,
由S0 =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.
2.5 HPM 的思想
科学史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远影响. 实数系的逻辑基础在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战. 古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢. 希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜. 直到19 世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.
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