许宝騄有一本翻破了的克拉美概率著作,书上几乎写满了批注。他认为该书包含了所有概率论的基础。1945年,许宝騄改进了克拉美定理和贝莱定理,并给出克拉美定理的一个初等证明[ 5 ] 。他以特征函数为工具,通过12个引理,给出了上述定理的证明。但影响更深远的结果是他将相应的样本均值代之以样本方差。许宝騄说:“关于均值的渐近分布,已知结果如此之多。考尼斯(Cornish)和费希尔(R. A.Fisher, 1890—1962)通过半不变量获得了逐步近似于任何随机变量分布的各项。若把考尼斯和费希尔的形式结果转化为一条渐近展开的数学定理,它能给出剩余项大小的阶。在本文中,样本方差就做到了这一步。”[ 5 ]
这里许宝騄第一个讨论了样本方差的渐近展开,给出余项阶的估计。他直接引进了一个新维数,用特征函数来近似随机向量的分布,其难点是用特征函数来近似两个高度相关的随机变量的分布。他对特征函数的应用已经达到炉火纯青的境界,在不少论文中对这一技巧信手拈来,应用自如。
许宝騄所采用的方法具有普遍意义,还可以用于解决样本高阶中心矩、样本相关系数及样本统计量的类似问题。他的这一工作在20世纪70年代以后引起了进一步的研究。此后,许宝騄开始研究费勒(W. Feller, 1906—1970)对中心极限定理一般形式的充要条件。1947年5月,他得到每行独立的无限小随机变量三角阵列的行和,依分布收敛于一给定的无穷可分律的充要条件。当时一些著名的概率专家,如柯尔莫戈罗夫、辛钦(A.Ya. Khintchine, 1894—1959) 、格涅坚科(B. V. Gnedenko, 1912—1995) 、莱维( Paul Lévy,1886—1971)和费勒等,都在寻找这一答案,所以许宝騄在给钟开莱的信中说,担心正在进行的工作会和别人相重复。
许宝騄的条件与格涅坚科的不同,后者的“两个尾巴”是并在一起的,而许宝騄则利用核( sint / t) 3 直接证明。但得知格涅坚科的研究成果已经发表时,许宝騄立即承认了其优先权[ 6 ] 。因此,在格涅坚科和柯尔莫戈罗夫合著的相关专著英译本再版时,添加了许宝騄的这一论文作为附录。
20世纪50年代中期,许宝騄对马尔科夫过程产生了兴趣,他用分析的方法讨论了关于转移概率函数的可微性。这一工作暗示了分析结构和概率结构的内在联系,为进一步研究奠定了基础。
2 涉足统计推断领域
贝叶斯( T. Bayes, 1702—1761)的论文《论机会学说问题的求解》可看作最早的一种统计推断程序。拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯公式估计参数的研究,促使统计学摆脱观测数据的单纯描述而向强调推断的阶段过渡。
19世纪末,皮尔逊(K. Pearson, 1857—1936) 明确指出,统计学不是研究样本本身而是要根据样本对总体进行推断,并引进一个分布族,包含正态分布及现在已知的一些重要非正态分布,还提出矩估计法,用来估计分布族中的参数[ 7 ] 。皮尔逊所提出的检验拟合优度统计量,为大样本统计的先驱性工作。戈塞特(W. S. Gosset, 1876—1937) 1908年导出的t分布,则开了小样本理论的先河。小样本理论强调样本必须从总体中随机抽取,从而使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象。
20世纪20年代费希尔对现代数理统计学的形成和发展做出了卓越贡献。他发展了正态总体下种种统计量的抽样分布理论,建立了以最大似然估计为中心的点估计理论,创立了实验设计,并发展了相应的数据分析方法———方差分析。
1911年,皮尔逊应聘为伦敦大学学院优生学教授,并任生物统计系主任,而费希尔自1933年起任伦敦大学学院教授。他们共同建立和领导了一个有世界影响的数理统计学派,使伦敦大学学院的高尔顿实验室和统计系成为世界数理统计学的研究中心。
1936年许宝騄来到高尔顿实验室和统计系学习时,小皮尔逊( E. S. Person, 1895—1980)刚继任父亲的领导工作,任统计系主任;费希尔任高尔顿实验室主任;现代统计学家奈曼(J. Neyman, 1894—1981)任统计系教授;一些著名学者也不断来访,如美国的多元分析专家郝太林(H. Hotelling, 1895—1973) 、频率曲线专家克莱格(C. C. Craig)和概率专家费勒等。频频接触这些“世界级”人物,其发现一般原理、发现科学实质的深邃思想,其才气横溢、思如泉涌的大家风范,其刻苦钻研、锲而不舍的科学精神,都给天资聪慧的许宝騄留下了深刻印象。这对其概率统计思想的形成和发展产生了很大影响,他一生的科学贡献与这段经历是密切相关的。
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