强大数定律和弱大数定律取决于收敛的类型。第一个弱大数定律由雅可布·伯努利(Jacob Bernoulli, 1654—1705 ) 提出, 刻画了大量经验观测中呈现的稳定性。后泊松( Siméon Denis Poisson, 1781—1840)又提出了一个条件更宽的陈述,即泊松大数定律。
切比雪夫( P. L. Chebyshev, 1821—1894)第一次严格地证明了伯努利大数定律,并把结果推广到泊松大数定律。1866年,切比雪夫给出著名的切比雪夫不等式,并由此导出切比雪夫大数定律。
第一个强大数定律由法国数学家博雷尔( Email Borel, 1871—1956)在1909年对伯努利试验场合建立。他证得若试验次数无限增加时,频率将趋于概率。博雷尔的工作激起了数学家沿这一崭新方向的一系列探索,其中尤以柯尔莫戈罗夫(A. H. Kolmogorov, 1903—1987)的研究最为卓著。他在1926年推导了弱大数定律成立的充分必要条件,后又对博雷尔提出的强大数定律给出了一般结果。
许宝騄进一步加强了强大数定律的结论。其结果为:设X1 , X2 , ⋯, Xn , ⋯是独立同分布均值为零、方差有限的随机变量序列,任给ε> 0,有Σ∞n =1P 1n| X1 + X2 + ⋯ Xn | >ε < ∞证明是经过一个卷积的富立叶逆转,把问题转化为含有特征函数某个积分的分片估计,这需要具有相当深厚的数学功底和敏锐的数学眼光才能完成。由于推证较复杂,尽管已经得出关于矩的充要条件,但在刊出时删去了必要性的证明[ 4 ] 。
概率论中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性,对随机变量收敛性的不同定义将导致不同的极限定理。许宝騄在“依分布收敛”、“依概率收敛”、“r2阶收敛”和“依概率1收敛”的基础上,创造性地提出“完全收敛性”概念,开辟了概率论极限理论研究的新局面。直到今天,对完全收敛性的讨论仍是一个有意义的课题,这就足以表明该文的开创性价值。正如许宝騄所说:“一篇论文不能因为获得发表就有了价值。其真正价值要看发表后被引用的状况来评价。”[ 1 ] 许宝騄对中心极限定理也进行了较为深入的研究。“中心极限定理”这个术语是由波利亚(G. Polya, 1887—1985) 1920年引入的。 该定理断言在适当条件下,大量独立随机变量和的概率分布近似于正态分布。在长达两个世纪的时间内极限定理成了概率论的中心课题。
1733年,棣莫弗(A. De Moivre, 1667—1754)由二项分布的渐进分布推导出正态分布。较一般的极限定理由拉普拉斯( Pierre2Simon Marquis de Lap lace, 1749—1827)给出,但其证明不完善。
误差分析是概率论的生长点之一。如果把随机变量总和中的每项看作是小的“基本误差”,那么中心极限定理就为观察误差中正态分布的发生给出一个解释。19世纪初高斯(C. F. Gauss, 1777—1855)在研究测量误差时引进了正态分布,并发展了具有广泛应用的最小二乘法。
在许多数学家为给出中心极限定理严格证明所做的努力均告失败后,切比雪夫使用矩方法的尝试相当令人鼓舞。马尔科夫(A. A. Markov, 1856—1922)于1887年第一个用矩方法给出了中心极限定理的严格证明。切比雪夫的另一个弟子李雅普诺夫(A. M. Lyapunov, 1857—1918)则从一个全新角度去考察中心极限定理,引入特征函数这一有力工具,避免了矩方法所要求的高阶矩存在的苛刻条件,在1901年给出了定理的完善证明,其证明方法与现在素数理论中的方法相类似。特征函数实现了数学方法的革命,为极限定理的进一步精确化提供了条件。
一个从理论和应用上都应当关心的问题是,仅知道某个概率分布渐近正态分布是不够的,还必须知道换成正态分布后误差有多大。李雅普诺夫给出这个误差的一个上限。瑞典数学家克拉美(H. Cramér, 1893—1985)发现李雅普诺夫所给余数的估计在风险问题中是远远不够的,并于1928年改进了结果。1941年,贝莱(A. C. Berry)再次改进了李雅普诺夫的结果。
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