概率统计C复习题

2012年第一学期

11级概率统计C复习题

1、市场供应的热水瓶中，甲厂产品占20%，乙厂产品占40%，丙厂产品占40%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为0.8、0.9、0.7，若已知买到的一个热水瓶是合格品，求：这个合格品是甲厂生产的概率．

2、设三门高射炮击中敌机的概率分别为0.5,0.6,0.7.若三门高射炮同时射击，求敌机被击中的概率．

3、仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为5000支，次品率为1%;乙厂生产的为3000支，次品率为2%;丙厂生产的为2000支，次品率为3%;如果从中随机地抽取一支，发现为次品，求该次品是甲厂产品的概率．

4、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为0.25，设X为途中遇到红灯的次数，求至多遇到一次红灯的概率．(p41.6)

5、设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相等，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率. (p43.11)

6、有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某时间段出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率. (p54.11)

7、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,x?R，求（1）常数A、B； （2）P； （3）随机变量X的密度函数. (p55.25) （X〈1）8、设随机变量X的密度函数为

?2x,0?x?A, f(x)??其他，?0,试求：（1）常数A；（2）X的分布函数. (p54.16)

9、设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae?x,x?R,求：（1）常数A；（2）X的分布函数．(p54.17)

1

???1,x?(?,)?10、设随机变量X~R(?,),其密度函数为fX(x)???22 ， 试

22??0,其它??求随机变量函数Y?sinX的密度函数fY(y)． 11、设随机变量X~N(0,1), 其密度函数为fX(x)?求Y?X 的密度函数.fy?y?. (p77.例3) 12、设随机变量X~N(0,1), 其密度函数为fX(x)?求Y?X2 的密度函数.fY?y?. (p87.5)

12?e?x22

12?e?x22 ．

?e?x,13、设随机变量X的概率密度为f(x)???0,(p110.13)

x?0x?0?2X ，求EX,E(X?e).

14、设随机变量X~P(?)，其分布列为Pk?P?X?k??EX2．

?kk!??e,(k?0,1,2,),求

kkn?k15、设X~B(n,p),其分布列为pk?P(X?k)?Cnpq,k?0,1,2,,n，求：

EX,DX.

16、一批同型号灯管，其寿命（单位：h）服从参数为?的指数分布，今随机抽取其中的11只，测得其寿命数据如下：

110，184，145，122，165，143，78，129，62，120，168． 用矩估计法估计λ值．(p132.例6) 17、设X1,X2,计．(p133.例9)

18、设X的密度函数为：

1??f(x,?)?e2?|x|,Xn 是来自(a,b)上均匀分布样本，a?b未知，求a,b的矩估

x?R,??0

X1,X2,?Xn是取自母体X的一个样本，求σ的最大似然估计．(p141.8)

2

2012年第一学期

11级概率统计C复习题解答

1、解：设B1?“买到的一个热水瓶是甲厂生产的”，B2?“买到的一个热水瓶是乙厂生产的”，

，A?“买到的一个热水瓶是合B3?“买到的一个热水瓶是丙厂生产的”

格品”。 则由题意可知：

P(B1)?0.2,P(B2)?0.4,P(B)3?0.4, P(A|B1)?0.8,P(A|B2)?0.9,

P(A|B3)?0.7.于是由全概率公式得：

P(A)??PB(i?)PA(Bi|?)?0.2?0.?8I?130.?4?0.9?0. 40.70.8所以由贝叶斯公式得：

P(B1|A)?P(B1)?P(A|B1)0.2?0.8??0.2

P(A)0.82、解：设三门高射炮击中敌机的事件分别为A,B,C.则由已知可得：

P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(C)?0.7.且A,B,C相互独立.则有

P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?0.5)(1?0.6)(1?0.7)?0.94

3、解：设从中随机地抽取一支，该灯管是甲、乙、丙工厂生产的事件分别为

A1,A2,A3.

设从中随机地抽取一支，该灯管是次品的事件为C.则有

P(C|A1)?0.01,P(C|A2)?0.02,P(C|A3)?0.03132P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?101010

3

由贝叶斯公式得

P(A1|C)?P(A1)P(C|A1)5?.

P(A1)P(C|A1)?P(A2)P(C|A2)?P(A3)P(C|A3)174、解：由题意可知X~B(3,0.25)，于是其分布律为

kP(X?k)?C30.25k0.753?k,(k?0,1,2,3).

01P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?C30.250?0.753?C30.25?0.752?0.844.

5、解：设X~P(?),则由题意可知

P(X?0)?P(X?1),

即

?00!e????11!e??, 可得 ??1.

10?111?1因此P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?e?e?1?2e?1.

0!1!6、解：设X为1000辆汽车中出事故的次数，则由题意可知X~B(1000,0.0001). 于是

01P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1?C10000.00010?0.99991000?C10000.00011?0.99999990.10?0.10.11?0.1?1?e?e?1?1.1e?0.1.

0!1!7、解：(p47.19)

由limF(x)?0,limF(x)?1,得x???x???1???A?A?B?0(1) ????22解得???A??B?1?B?1????2?11于是F(x)=?arctanx.

2?

(2) P(x?1)?P(?1?x?1)?F(1)?F(?1)?(3) X的密度函数

?(x)? f(x)?F

11?11?1?????(?)?. 2?42?421,x? R?(1?x2)4

8、解：(p5447.16) (1)由1=?????f(x)dx??2xdx?A2,得A??1，其中A=-1不合，故A=1;

0A(2)X的分布函数

? F(x)?P(Xx?)?x???0,x?0,?2f(x)?dx?,0? x1,?x?1,x?1.?????9、解：(p54.17)(1) 由1??f(x)dx??????Aedx?2??x??01Ae?xdx?2A,得A?，

2(2) F(x)?P(X?x)??x??1x?x1tedt?e,x?0,?????22f(t)dt??

01x11?etdt??e?tdt?1?e?x,x?0.?02????2210、解：Y的分布函数为

y??1?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)??P(X?arcsiny),?1?y?1

?1,y?1?而 当?1?y?1时，P(X?arcsiny)????arcsinyfX(x)dx??arcsiny?1?2?dx?(arcsiny?)

?21?1?,?1?y?1?2因此 fY(y)?F'(y?)??1?y

?0,其他.?11、解：(p77.例3)当y?0时, FY(y)?0, 当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X?y)?P(?y?X?y)???2?y2?因此 fX(y)?FY'(y)???e,?0,?2y12??ye?x22dx

y?0 其他.12、解：(p87.5)当y?0时, FY(y)?0, 当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)??y12??ye?x22dx

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