垂径定理，圆周角与圆心角的关系

圆

目 录

一． 圆的定义及相关概念 二． 垂经定理及其推论 三． 圆周角与圆心角

四． 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五． 圆内接四边形 六． 会用切线 , 能证切线 七． 切线长定理 八． 三角形的内切圆

九． 了解弦切角与圆幂定理（选学） 十． 圆与圆的位置关系 十一． 圆的有关计算 十二． 圆的基础综合测试 十三． 圆的终极综合测试

1

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

2

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

A

M

B C 例2．已知，如图，CD是直径，?EOD?84?，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

E B D O C A 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。

例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？

例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,?CEA?30， 求CD的长．

C E ?

A

3

· O

B D

例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为2,3，求?BAC的度数．

【考点速练】

1.下列命题中，正确的是（ ） A．三点确定一个圆

B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆

C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A．1个 B．2 C．3个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A．1个 B．2 C．3个 5．下列说法中，正确的个数为（ ）

①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

D．无数个 D．无数个

6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )

A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

APOAOB 4

第8题 第9题

10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）

11.如图，已知在?ABC中，?A?90?，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．

C

A B

D

12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。

13、 △ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。

14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。

CABDOP15.思考题

如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.

A · O C E P F B D

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

5

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