2012广州一模试题及答案（数学理）WORD版(4)

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21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?ex?x?1，

所以?1?(x)?ex?1．…………………………………………………………1分 当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0． 即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分

因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0． 即f(x)?g1(x)≥0，

所以f(x)≥g1(x)．……………………………………………………………3分 （2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．……………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)． ②假设当n?k（k?N*）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，……………5分 令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，

??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．……………………………6分 即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0． 从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0． 即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．

这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)． 由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．……………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．

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由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)． 令x?1，得gn?1??f?1?=e．

所以gn?1??e．……………………………………………………………………9分 再

1证

2对

3任

n意正整数n，

111?2??2??2??2?． ?1?1?????1??????????????g1n???2!3!n!?2??3??4??n?1?1?2?要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ??n!?n?1??n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!????2?nn（*）成

立．……………………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：

?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．

?2?1②假设当n?k（k?N*）时，不等式（*）成立，

?k?1?即k!???．……………………………………………………………………11分

?2?k?k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?kk?1．

为

因?k?2????2??k?1????2?k?1k?1k?1?k?2?????k?1????1???????0k?1?????k?????????，…

12分

?k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．………………………………………13分

这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可知，对任意正整数

n，不等式

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?2??2??2??2?1???????????????gn?1??e成立． ?2??3??4??n?1?123n………………14分

方法2（基本不等式法）： 因为n?1?n?12，……………………………………………………11分 ?n?1??2?n?12，

……，

1?n?n?12，

将以上n个不等式相乘，得n!??n?1n???．…………………………………13分

?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立． 综上可

知，

对任意正整数n，不等11??2?223n??????2??g2???2?3?????4????n??n?1?1?成立．?e ?????……………14分

式

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