2012广州一模试题及答案（数学理）WORD版(3)

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设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

??????n?PB?0,则????? ??n?PC?0.??2x?y?3z?0,即? ??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下： （1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，……………………………………………………………………………z1 分 P 则B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．

????????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，

????AED

Cy

????????所以BP?BC． x

B 所以BP?BC． 所以?PBC为直角三角形．…………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?．

????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．

???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

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???????n?PB?0,?2x?y?3z?0,则?????即? ??n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．…………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

19．（本小题满分14分）

．……………………………14分

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有

2a4?4a5?a?,??3?a3?a4?2a5,即……………………………………………2分 2??2??a3?2a2.?a?2a2.2?3234??a1q?a1q?2a1q,所以?…………………………………………………………3分

222??a1q?2a1q.?a1???由于a1?0，q?0，解之得??q???1?a?,?12或?2………………………………5分 1?q??1..?2,121又a1?0,q?0，所以a1?12,q?，…………………………………………6分

n?1?*所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．………………………………7分

2??（bn?22n?5）解?an?：2n?5由?12n（1），得

?2n?1??2n?3?所以bn???2?2n?1??2n?3?．………………………………8分

?2n?1??1??n 2n?3?21

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?1(2n?1)2n?1?1(2n?3)2n．………………………………………………10分

所以Sn?b1?b2?L?bn

1?1????35?2??1?11??1 ??L??????2?n?1n?5?27?22n?122n?32??????????13?1?2n?3?2n．

故数列?bn?的前n项和Sn?13?1?2n?3?2n．…………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．……………………………………………1分

yb22设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?， 因为双曲线的离心率为5，所以1?b12?5，即b?2．

所以双曲线C的方程为x?2y24?1．……………………………………………3分

（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0）， 则直线AP的方程为y?k(x?1)，………………………………………………4分 ?y?k?x?1?,?2联立方程组?…………………………………………………5分 y2?1.?x??4整理，得?4?k2?x2?2k2x?k2?4?0，

4?k4?k22解得x??1或x?．所以x2?4?k4?k22．……………………………………6分

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同理可得，x1?4?k4?k22．……………………………………………………………7分

所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则

kAP?y1x1?1，

kAT?y2x2?1．…………………………………………………………………………4分

因为kAP?kAT，所以

y1x1?1?y2x2?1，即y122?x1?1??y222?x2?1?y142．………………5分

因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x1?2?1，x2?2y242?1．

即y12?4?x12?1?，y22?4?1?x22?．…………………………………………6分 所以

4?x1?1?2?x1?1?2?4?1?x222??x2?1?，即x1?1x1?1?1?x2x2?1．…………………………………7分

所以x1?x2?1．………………………………………………………………………8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1x1?1(x?1)，……………………4分

y1?y??x?1?,?x1?1?联立方程组?………………………………………………5分

2?2yx??1.??422?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 整理，得?4(x?1)?y11??解

x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y122得

222x??1或

2．…………………………………………………………………6分

将y1?4x1?4代入x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y12222，得x?1x1，即x2?1x1．

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所以x1?x2?1．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），

????????则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．

????????2因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x12?y12?16．…………9分

因为点P在双曲线上，则x1?2y142?1，所以x1?4x1?4?16，即x1?4．

222因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．………………………10分 因为S1?212|AB||y2|?|y2|，S2?2212|OB||y1|?212|y1|，

22所以S1?S2?y2?分

14y1??4?4x22???x21?1??5?x1?4x2．…………………11

由（2）知，x1?x2?1，即x2?2设t?x1，则1?t?4，

1x1． S1?S2?5?t?4t224t． 4t2设f?t??5?t?，则f??t???1???2?t??2?t?t2，

当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，

22所以当t?4，即x1?2时，?S1?S2?min?f?4??0．………………………12分

当t?2，即x1?2时，?S1?S222?max?f?2??1．……………………………13分

22所以S1?S2的取值范围为?0,1?．…………………………………………14分

说明：由S12?S22?5??x12?4x22??5?4x1x2?1，得?S1?S222?max?1，给1分．

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