2012广州一模试题及答案（数学理）WORD版(2)

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?tan??2．…………………………………………………7分

所以

sin?cos??2，即sin??2cos?． ①

因为sin2??cos2??1， ② 由①、②解得cos2????15．……………………………………………………9分

因为????,??5253??，所以，．………………………10分 cos???sin????552????? ……………………………………11分 ?cos?cos?sin?sin?444?所以cos????25???????525?52?2310．…………………12分 ?????210?

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得?(87?89?96?96)?4114?(87?90?a?93?95)，………………1

分

解得a?3.……………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?21??87?92?2??93?92?2??93?92?2??95?92?2??9.

?4?…………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结

果．……………6分 这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：

87 93 93 95 X 甲 87 乙 89 2 4 4 6 96 9 3 3 1 96 9 3 3 1 0 6 6 8 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，

9.…………………………………………………8分

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由表可得P(X?0)?P(X?4)?116216，P(X?1)?，P(X?6)?216316，P(X?2)?，P(X?8)?116116，P(X?3)?，P(X?9)?416216， .

所以随机变量X的分布列为：

X P 0 1161 2161162 1164163 4164 2166 3163168 1169 216 ……………………10分

随机变量X的数学期望为 EX?0??6816116??1?174216?2??3??4?216?6??8?116?9?216………11分

.……………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面

PAC，PD?AC，

所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC．

因B?E2为?BA2?2B??6B，2CAC?4，所以

?6?C2．………………CE?23分 ?P因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?所以PC?3，CD?3， PD?CD22??3??2?2?3?23．………4分

2连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?所以BD?BE?DE2222，DE?1，

AEDB

?1?2C?3．…………5分

因为PD?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD． 在Rt△PBD中，因为PD?所以PB?PD?BD22

3，BD?223， ?6．………………………………6分

??3???3?6，PB?在?PBC中，因为BC?所以BC?PB?PC．

2226，PC?23，

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所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分

证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面

PAC，PD?AC，

所以PD?平面ABC．……………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因

B?E2为

?BA2?2B??6B，

2CAC?4，所以

??6C2．………………CE?23分 ?连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90o，BE?所以BD?BE?DE222，DE?1，

??2?2?1?23．………………………………4分

在△BCD中，因为CD?3，BC?6，BD?3，

所以BC2?BD2?CD2，所以BC?BD．………………………………………5分 因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC?PD．…………………………………………………………6分 因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．

因为PB?平面PBD，所以BC?PB．

所以?PBC为直角三角形．……………………………………………………7分

（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，

则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………8分

由（1）知，△ABC的面积S?ABC?因1312?AC?BE?22．…………………9分

为1?S?B23PD?3，所以

VP????A???C326PD3A2．…………………………10分

BC由（1）知?PBC为直角三角形，BC?所以△PBC的面积S?PBC?126，PB?12?6?6，

6?3．…………………11分

?BC?PB?因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC，

1263263即?3?AH?3，所以AH?．……………………………………12分

在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1，

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所以AP?PD?AD22???32?1?2．………………………………13分

226因为sin?APH?AHAP?32?63．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

63．…………………………………………………14分

解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M， 则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分

由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P， 所以BC?平面PBD． 因为BC?平面PBC，

所以平面PBC?平面PBD．

过点D作DN?PB于点N，连接MN， 则DN?平面PBC．

所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD22PM AN DB C

3，AD?1， ???3?CDCA2?1?2．……………………………………11分因DM2?342为DM∥AP，所以DM?32DMAP，即，所以．………………………………12分 3，PB?3?6由（1）知BD?6，且PD?3623，

所以DN?PD?BDPB??．……………………………………13分

6因为sin?DMN?DNDE?2?6， 332所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

63．…………………………………………………14分

解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，……………………………………8分 在△PCG中，PB?BG?BC?

P6，

K AEDC 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

所以?CPG?90o，即CP?PG．

在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4， 所以PA2?PC2?AC2， 所以CP?PA． 因为PAIPG?P， 所以CP?平面

PAG．…………………………………………………………………………………9分

过点A作AK?PG于点K， 因为AK?平面PAG， 所以CP?AK． 因为PGICP?P，

所以AK?平面PCG．

所以?APK为直线AP与平面PBC所成的

角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC?PB， 所以PG?PC?23．

在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，

所以AG?2BE?22．………………………………………………………12分 在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23， 所以PA2?AG2?PG2，即PA?AG．……………………………………………………………13分

因为sin?APK?AGPG?2223?63． 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分

解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E?xyz，……………………………………………………………………8分

则A?0,?2,0?，B??2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???Pz ????????于是AP?0,1,3，PB???????2,1,?3，PC?0,3,?3． ???

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