一·简答题
1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8）
a2a1（1）体心立方基矢：?2?(?i?j?k)，体积：a3，最近邻格点数：8
22a?3?(i?j?k)2?1?(i?j?k)a2a1（2）面心立方基矢：?2?(j?k)，体积：a3，最近邻格点数：12
24a?3?(k?i)2?1?(i?j)2.习题1.5、证明倒格子矢量G?h1b1?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。
证明：因为CA?
a1a3aa?,CB?2?3，G?h1b1?h2b2?h3b3 h1h3h2h3利用ai?bj?2??ij，容易证明
Gh1h2h3?CA?0Gh1h2h3?CB?0
所以，倒格子矢量G?h1b1?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。 3.习题1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d2?a2(h2?k2?l2)，其中a为立方边长；
解：简单立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak 由倒格子基矢的定义：b1?2?a2?a3a3?a1a1?a2b?2?b?2?，2，3
a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3倒格子基矢：b1?2?2?2?i,b2?j,b3?k aaa倒格子矢量：G?hb1?kb2?lb3，G?h2?2?2?i?kj?lk aaa晶面族(hkl)的面间距：d?2??G1
hkl()2?()2?()2aaaa2d?2 22(h?k?l)24.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
解：(111)
（1）、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：
RB??aj?ak，
(111)面与(100)面的交线的晶向AB??aj?ak，晶向指数[011]。
（2）、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：
RB??ai?aj，(111)面与(110)面的交线的晶向AB??ai?aj，晶向指数[110]。
5.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？
（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式
（2）相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材P49） 6.什么是声子？
声子就是指格波的量子，它的能量等于
?q。在晶体中存在不同频率振动
的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。（答案参考教材P92）
7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材P95－97） 解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W－K示意图如下
上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。
（2）当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。
8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。
导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;
绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；
半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)
9.请问德拜模型的基本假设是什么？
基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材P126－129） 10.晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式 态密度：g(?)?3V_21/3?，频率表达式：?m?C[6?()]
2_2?C32NV答案参考教材P127－129
11.简述Bloch定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154－157）
（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解?具有如下性质：
?(r?R)?eik?R?(r)，其中k为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平
nikRne移晶格矢量Rn时，波函数只增加了位相因子。
（2）边界条件： ?(r)??(r?N1?1)
?(r)??(r?N2?2)
?(r)??(r?N3?3)
其中N1，N2，N3为沿?1，?2，?3方向的原胞数，总的原胞N=N1?N2?N3。 二、证明or 计算题
1.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：
??U(r)??m?n，其中?、?、m>n都是>0的常数，求：
rra) 平衡时两原子间的距离； b) 平衡时结合能； 思路参考教材P53－54 解：（1）求平衡间距r0
由
du(r)dr?0，有：
r?r01m?n?m??m?n????0?r?0?n???r0m?1r0.n?1???n?????m???1n?m
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能
量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示） （2）求结合能w（单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin
11??即：W??U(r0)?(?m?n) （可代入r0值，也可不代入）
22r0r02.已知N个质量为m，间距为a的相同原子组成的一维原子链，
(1)推导其色散关系
(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。 (3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。 解：（1）m?n设方程的解?n??(?n?1??n)??(?n??n?1)??(?n?1??n?1?2?n)
?Aei[?t?naq],代回方程中得到：
?2?2?4?1?aq[1?cosaq]?sin2(aq)，??2sin mm2m2（2），截止频率范围以外的q值并不能提供其他
不同的波，q的取值范围称为布里渊区。 （3）g(?)?3V_?2，代入?即可得出。
2?C3答案参考教材P82－87
习题4-3. 电子在周期场中的势能函数
2?1222??m?b?x?na,当na?b?x?na?b?V?x???2
?0,当?n?1?a?b?x?na?b?其中a?4b，?为常数，
(1)画出此势能曲线，并求其平均值；
(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。
解 ：(I)题设势能曲线如下图所示．
??
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
V(x)?11a1a?bV(x)?V(x)dx?V(x)dx L?La?ba??b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，
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