【课题】5．1 角的概念推广
【教学目标】
知识目标：
⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
终边相同角的概念．
【教学难点】
终边相同角的表示和确定．
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 5.1角的概念推广 *创设情景 兴趣导入 问题1 游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 质疑 了解 思考 利用 实际 问题 引起 学生 的好
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第5章 三角函数（教案）
教 学 过 程 小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？ 问题2 用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角 ；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于 的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向 的角． 归纳 通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广． *动脑思考 探索新知 概念 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角?．旋转开始位置的射线OA叫角?的始边，终止位置的射线OB叫做角?的终边，端点O叫做角?的顶点． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 说明 总结 求解 讨论 交流 理解 奇心 和求 知欲 生活 实例 有助 于学 生理 解角 的推 广的 意义 说明 仔细 分析 讲解 关键 思考 理解 记忆 明确 结合 图形 讲解 角的 图形 可以 加入 学生 的举 例 明确 角的 类型 完成 10 规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1））， 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角． （1） （2） 类型 经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角． 表示 2 点 引导 强调 第5章 三角函数（教案）
教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 领会 观察 理解 角的 推广 象限 角可 以引 导学 生一 步步 自然 得出 强调 特殊 情况 30 引导 展示 强调 除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB” 或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母?、?、?、表示角． 概念 数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）． 如图所示，30°、390°、?330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，?120°是第三象限的角，?60°、300°都是第四象限的角． 来 270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． *运用知识 强化练习 教材练习5.1.1 终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、 提问 巡视 指导 演示 操作 思考 动手 求解 交流 动手 操作 思考 反馈 学习 状态 巩固 知识 由具 体的 问题 实际 40 2．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°； ⑵ ?210°； ⑶ 225°； ⑷ ?300°． *动手操作 实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征． *问题引导 实践探究 问题 在直角坐标系中作出390°、?330°和30°角，这些角的终边 质疑
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第5章 三角函数（教案）
教 学 过 程 有何关系？ 探究 390°=30°+1×360° ； ?330°=30°+（-1）×360°． 即390°、?330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角． 推广 与30°角终边相同的角还有： 750°=30°+2×360°； -690°=30°+（-2）×360°； 1110°=30°+3×360°； -1050°=30°+（-3）×360°； …… …… 所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差都教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 提问 引导 分析 讲解 总结 求解 领会 理解 明确 操作 引导 学生 一步 步的 体会 终边 相同 角的 含义 自然 得出 结论 50 说明 强调 理解 记忆 强调 概念 的关 键点 安排 与知 识点 对应 的例 题巩 55 恰好为360°的整数倍数．它们（包括30°角）都可以表示为(k?Z)的形式．因此，与30°30°+k?360°角终边相同的角的集合为S?｛?︱??30?k?360,k?Z｝． *动脑思考 探索新知 一般地，与角?终边相同的角（包括角?在内），都可以表示为 ??k?360(k?Z) 的形式． 与角?终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 S?｛?︱????k?360,k?Z｝． *巩固知识 典型例题 例1 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在?360°～720°内的角写出来：⑴ 60°； ⑵ ?114°26′． 分析 首先要写出与已知角终边相同的角的集合S，然后选取整数k的值，使得??k?360在指定的范围内． 解 ⑴ 与60°角终边相同的角的集合是 ｛?︱??60?k?360,k?Z｝． 质疑 说明 观察 思考
4 第5章 三角函数（教案）
教 学 过 程 当k??1时，60?(?1)?360??300； 当k?0时，60?0?360?60；当k?1时，60?1?360?420．所以在教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 主动 求解 思考 理解 领会 求解 理解 明确 固新 知 计算 部分 可以 教给 学生 完成 利用 观察 图像 加强 问题 的理 解 强调 规范 写法 5
?360°～720°之间与60°角终边相同的角为?300、60和420． ⑵ 与?114°26′角终边相同的角的集合是 S?｛?︱???11426??k?360,k?Z｝． 说明 引领 分析 当k?0时，?11426??0?360??11426?； 当k?1时，?11426??1?360?24534?； 当k?2时，?11426??2?360?60534?． 所以在?360°～720°之间与?11426?角终边相同的角为?11426?、24534?和60534?． 例2 写出终边在y轴上的角的集合． 分析 在0°～360°范围内，终边在y轴正半轴上的角为90°，终边在y轴负半轴上的角为270°，因此，终边在y轴正半轴、总结 负半轴上所有的角分别是 k?360??90??2k?180??90?， 讲解 引领 k?360??270??(2k?1)?180??90?， 其中k?Z．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；(2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180°的整数倍再加上90°． 解 终边在y轴上的角的集合是 S?｛?︱??n?180?90,n?Z｝． 当n取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；当n取奇数时，角的终边在y轴负半轴上．
第5章 三角函数（教案）
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