2015江苏专用 - - 解析几何中的瓶颈题(5)

xy3c22【解答】(1) 根据e=a=2,可设椭圆方程为4b+b=1,将M(2,1)代入可得b2=2,

22x2y2所以椭圆C的方程为8+2=1,

1k因此左焦点为(-6,0),斜率l0=kOM=2, 1所以直线l0的方程为y=2(x+6), 61即y=2x+2.

1(2) 抛物线C的方程为y2=2x.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则

y1-1y2-1y2-y111k1=x1-2,k2=x2-2,kAB=x2-x1=2(y2?y1)=-4,所以y1+y2=-2.

y1-1y2-1y1?y2?211k+k=x1-2+x2-2=2(y1?1)+2(y2?1)=2(y1?1)(y2?1)=0.

1

2

所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.

【点评】定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值;解决圆锥曲线中的最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围.如何突破解析几何中的“瓶颈题”,需要综合运用“设而不求”、“合理引参”、“整体代换”、“回归定义”和“借助平几”等策略,才能简化运算,起到事半功倍的效果.

【评价反馈】

1. (1) 由S1=λS2可知m+n=λ(m-n),

m?1nm??1-1所以λ=n=?-1,解得λ=2+1(舍去小于1的根).

x2y2x2y22222(2) 设椭圆C1:a+m=1(a>m),C2:a+n=1(a>n),直线l:ky=x,

?ky?x,?2am?xa2?m2k2y2222?2?2?1,222a?mk. am?am联立方程组消去x,得y=1,所以yA=an222同理,yB=a?nk.

又因为△BDM和△ABN的高相等,

S1BDyB-yDyB?yA所以S2=AB=yA-yB=yA-yB.

?2(?-1)2(??1)22222222若存在非零实数k使得S1=λS2,则有(λ-1)yA=(λ+1)yB,即a??nk=a?nk,

a2(?2-2?-1)(?2?1)4n2?3解得k2=,

所以当λ>1+2时,k2>0,存在这样的直线l; 当1<λ≤1+2时,k2≤0,不存在这样的直线l.

2. (1) 取PQ的中点D,连接OD,OP.

(第2题)

2π由α=4,c=1,知OD=2.

PQ2因为PQ=14,所以OP2=4+OD2=4, 所以a2=4,b2=3.

x2y2所以椭圆C的方程为4+3=1,圆O的方程为x2+y2=4. (2) 设AF2=s,BF2=t.

由椭圆定义得AF1+AF2=2a=4,BF1+BF2=2a=4.

8因为AF2,BF2,AB的长成等差数列,所以2t=s+4-s+4-t,所以t=3.

64?22(x-1)?y?,00?9??22?x0?y0?1,3?4设B(x0,y0),由? ?415?-,-???3?3??. 得B

7所以直线PQ的斜率k=15,所以PQ的方程为y=15(x+1),所以PQ=2.

37?154易求得椭圆上一点到直线PQ的距离的最大值是,所以△MPQ的面积的最大217?71516值是.

|0-0?2|323. (1) 由题意知,直线y=x+2与圆x2+y2=b2相切,所以=b,得b=1,由e=2,

c2a2-b2322得a=a=4,所以a=2. x2所以椭圆C的方程为4+y2=1.

1??k?0且k????2?? ①, (2) 因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2)

?8k2-24k?x2,-?2?24k?14k?12?. 将①代入4+y=1,解得P?1又直线AD的方程为y=2x+1 ②,

?4k?24k?,??2k-12k-1??, ①与②联立解得M

?8k2-24k??4k?2?,-,0??2?2?4k?14k?1?,N(x,0)三点共线,可得N?2k-1?,所以MN的斜率为由D(0,1),P?2k?12k?11m=4,则2m-k=2-k=2(定值).

4. (1) 因为圆C1与圆C2的公共弦PQ的方程是x=a-2,而M(2,t)是x=a-2上的点,所以a=4,

?1?17x-??故圆C1的标准方程为?2?+y2=4.

2?t?t2?y-?2

(2) 以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)+?2?=4+1,其圆心为

2?t?t2?1?1,?2??,半径r=4.因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以t2圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=r-1=2,

|3-2t-5|t所以5=2,解得t=4,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.

(3) 方法一:设直线OM与直线FN交于点k,由平面几何知识知ON2=OK·OM,直线

t2OM:y=2x,直线FN:y=-t(x-1),

t?y?x,??22???t241??y?-(x-1),??xK24?t?由?得xK=t?4,所以ON2=?·?t2??t2?4?1??xM?1??4?4?t2?4?=?··2=2,

所以线段ON的长为定值2. 方法二:设N(x0,y0),

???????????FN?(x0-1,y0),OM?(2,t),???????????MN?(x0-2,y0-t),ON?(x0,y0), 则??????????因为FN⊥OM,所以2(x0-1)+ty0=0,

所以2x0+ty0=2.

?????????22xyMNON00又因为⊥,所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,所以+=2x0+ty0=2,

????22x0?y0ON所以,||==2为定值.

|0-0?2|2=b,即b=2. 5. (1) 由直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,得b322由e=3,得a=1-e2=3,所以a=3. x2y2所以椭圆C1的方程是3+2=1.

p(2) 由题意得2=1,即p=2,故C2的方程为y2=4x.

2?y12??y2?,y,y??1?2?4??4??, 易知Q(0,0),设R,S

2

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