2015江苏专用 - - 解析几何中的瓶颈题

分类解密——专题突破

求曲线方程中的“瓶颈题”

例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,

设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.

(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.

练习1 (2014·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线

|x||y|C1:a+b=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为42,曲线C1上的点到原点O的最短

22距离为3.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.

(1) 求椭圆C2的标准方程.

(2) 设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O不重合).

①若MO=2OA,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程; ②若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.

练习2 设双曲线C1的渐近线方程为y=±3x,焦点在x轴上且实轴长为

1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于2C3:x2=2py(p>0,且是常数)的焦点F在曲线C2上.

(1) 求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程;

?1???????FB3(2) 过点F的直线l交曲线C3于点A,B(A在y轴左侧),若AF=,求直线l的倾

2,并且曲线

斜角.

圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”

?1??1,?例1 如图,在直角坐标系xOy中,点P?2?到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的

5距离为4.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1) 求p,t的值;

(2) 求△ABP面积的最大值.

(例1)

练习 (2014·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆

x2y222C:a+b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭

圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若点P的坐标为(0,b),求过P,Q,F2三点的圆的方程;

?1?????????,2??????????FPQF1,且λ∈?2?,求OP·OQ的最大值.

(3) 若1=λ

圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”

例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(2,0),B(-2,0),1直线PA与PB的斜率之积为-2.

(1) 求动点P的轨迹E的方程;

(2) 过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不

重合),求证:直线MQ过定点.

x22练习 (2014·江西卷)如图,已知双曲线C:a-y2=1(a>0)的右焦点F,点

A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).

(1) 求双曲线C的方程;

x0x2(2) 过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:a-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线3MFx=2相交于点N,证明:点P在C上移动时,NF恒为定值,并求此定值.

(练习)

探究性问题中“瓶颈题”

5x2y222例1 已知椭圆C:a+b=1(a>b>0)的离心率为3,定点M(2,0),椭圆短轴

的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.

(1) 求椭圆C的方程.

(2) 设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点,试问:x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

练习 (2014·山东卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异

于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有FA=FD.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.

(1) 求抛物线C的方程.

(2) 若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E. ①证明:直线AE过定点,并求出定点坐标.

②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

解析几何中的证明问题

例1 (南方凤凰台百校大联考)如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭

3圆C'过点M(2,1),离心率为2.抛物线C的顶点在原点且过点M.

(1) 当直线l0经过椭圆C'的左焦点且平行于OM时,求直线l0的方程;

1(2) 斜率为-4的直线l不过点M,与抛物线C交于A,B两个不同的点,求证:直线

MA,MB与x轴总围成等腰三角形.

(例1)

【评价反馈】

1. (2013·湖北卷)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐

m标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=n,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1) 当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值.

(2) 当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.

(第1题)

x2y2222. (2014·泰州期末)已知椭圆C:a+b=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F1(-1,0),F2(1,0)

??π?????0,????2??的动直线l交椭圆C于A,B分别是椭圆的左、右焦点,过点F1且倾斜角为α?π两点,交圆O于P,Q两点(如图所示,点A在x轴上方).当α=4时,弦PQ的长为14.

(1) 求圆O与椭圆C的方程;

(2) 若点M是椭圆C上一点,求当AF2,BF2,AB成等差数列时,△MPQ面积的最大值.

(第2题)

3x2y2223. (2014·珠海期末)已知椭圆C:a+b=1(a>b>0)的离心率为e=2,直线y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切. (1) 求椭圆C的方程;

(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上异于顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP的延长线于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证:2m-k为定值.

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