2015江苏专用 - - 解析几何中的瓶颈题(2)

(第3题)

4. 已知圆C1:x2+y2-x-a=0与圆C2:x2+y2-2x-2=0交于P,Q两点,M(2,t)是直线PQ上的一个动点.

(1) 求圆C1的标准方程.

(2) 求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆C3的方程.

(3) 过圆C2的圆心作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,请判断线段ON的长是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是,请说明理由.

3x2y2225. 已知椭圆C1:a+b=1(a>b>0)的离心率为e=3,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切. (1) 求椭圆C1的方程;

(2) 已知抛物线C2:y2=2px(p>0)与椭圆C1有公共焦点,设C2与x轴交于点Q,在C2上有不

????????????同的两点R,S(R,S与点Q不重合),满足QR·RS=0,求|QS|的取值范围.

x226. 如图,椭圆C:a+y2=1(a>1)的右焦点为F(c,0)(c>1),点P在圆O:x2+y2=1上任意一

点(点P在第一象限内),过点P作圆O的切线交椭圆C于Q,R两点. (1) 求证:PQ+FQ=a;

3(2) 若椭圆的离心率为2,求线段QR长度的最大值.

(第6题)

考点1 求曲线方程中的“瓶颈题”

【例1】 【分析】(1) (条件)L上的点到两个已知圆的圆心距相等?(目标)圆C的圆心轨迹L的方程?(方法)根据平面几何知识作出推断,L为两圆圆心的垂直平分线;

(2) (条件)点M的轨迹满足的几何条件?(目标)点M的轨迹Q的方程?(方法)归结为圆锥曲线定义,确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程.

【解答】(1) 两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的垂直平分线的斜率等于零,故线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.

(2) 因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,所以轨迹Q的方程是x2=4y.

【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程,考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用,其特点是解轨迹方程不以计算为主,而以推理为主.

?2ab?42,??ab22?.?223【练习1】 【解答】(1) 由题意得?a?b 又a>b>0,解得a2=8,b2=1.

x2因此椭圆的标准方程为8+y2=1.

??????????????????(2) ①设点M(x,y),A(m,n),则由题设知|OM|=2|OA|,OA·OM=0,

?212m?y,??42222??x?y?4(m?n),?n2?1x2.?mx?ny?0,4?即?解得? m2因为点A(m,n)在椭圆C2上,所以8+n2=1,

?y????x?2x2y2?2???8即+?2?=1,即4+32=1.

x2y2所以点M的轨迹方程为4+32=1.

2②方法一:设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R,λ≠0).

8因为点A在椭圆C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,即y2+8x2=?.(ⅰ) 又x2+8y2=8.(ⅱ)

28?1?1??2?229???. (ⅰ)+(ⅱ),得x+y=

8?1?16|?|???229|?|??≥9, 所以S△AMB=OM·OA=|λ|(x+y)=

16当且仅当λ=±1,即kAB=±1时,(S△AMB)min=9.

方法二:假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0).

?x22??y?1,?88k2822?y?kx,22xAyA?1?8k解方程组得=,=1?8k,

8(1?k2)8k232(1?k2)8222222y2xA所以OA=+A=1?8k+1?8k=1?8k,AB2=4OA2=1?8k.

?x2?y2?1,??8?8k28(1?k2)8?y?-1x,22222y?xk?又由解得M=k?8,M=k?8,所以OM2=k?8.

64(1?k2)232(1?k2)8(1?k2)112222222S(1?8k)(k?8)≥?AMB44k?81?8k由于=AB·OM=··=

2264(1?k)22?1?8k?k?8?8125622??(1?k)2??=4=81,

264(1?k2)2当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB面积的最小值

16是S△AMB=9.

116当k=0时,S△AMB=2×42×1=22>9; 116当k不存在时,S△AMB=2×22×2=22>9.

16综上所述,△AMB面积的最小值为9.

1122118(1?k2)8(1?k2)1?8k?k?89222228(1?k)=8,又OAOM1?8kk?8方法三:因为+=+=

121

OA2+OM2≥OA·OM,

1622

于是OA·OM≥9,当且仅当1+8k=k+8时等号成立,即k=±1时等号成立.(后同方

法一)

x2y222ba11【练习2】 【解答】(1) 设双曲线C1的方程为-=1,则有

?b1??3,?a1?2a?1,?1 解得

?a1?????b?1??1,23,22a?b112则c1==1,于是双曲线C1的焦点F1(-1,0),F2(1,0),曲线C2是以F1,F2

??2a2?22,x2y2?2222?a2-b2?1,解得为焦点的椭圆,设其方程为a2+b2=1(a2>b2>0),联立方程组??a2?2,2?x???b2?1,所以曲线C2的方程是2+y2=1.

依题意,曲线C3:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),

p于是2=1,所以p=2,所以曲线C3的方程是x2=4y.

(2) 由条件可设直线l的方程为y=kx+1,

?x2?4y,?y?kx?1,由?得x2-4kx-4=0,Δ=16(k2+1)>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.

?11???????FB由AF=3,得-3x1=x2,代入x1+x2=4k,得x1=-2k,x2=6k,代入x1x2=-4,得k2=3,由

3π于点A在y轴左侧,所以x1=-2k<0,即k>0,所以k=3,故直线l的倾斜角为6.

考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”

【例1】 【分析】(1) (条件)点M在抛物线上、点P到抛物线准线的距离?(目标)求p,t?(方法)根据已知列方程组,解方程组即得;

(2) (条件)直线OM的方程、点P坐标、抛物线方程?(目标)△ABP面积的最大值?(方法)利用AB的中点的坐标为参数建立△ABP面积的函数关系式,通过函数的最值求解.

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