专题5 第1讲 直线与圆(3)

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；

(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

[解析] (1)因为a＝2，e＝

2

，所以c＝1， 2

x22

则b＝1，即椭圆C的标准方程为＋y＝1.

21

(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝，

2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)． ∴kPQ＝－1，kOP＝1， ∴kOP·kPQ＝－1， 即OP⊥PQ，

故直线PQ与圆O相切．

(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，

2则y20＝2－x0，kPF＝

x0＋1y0，kOQ＝－，

y0x0＋1

x0＋1

∴直线OQ的方程为y＝－x，

y02x0＋2

∴点Q(－2，)，

y0

y0－

∴kPQ＝

2x0＋2

2

y0y0－?2x0＋2?

＝ x0＋2?x0＋2?y0

－x2x0y00－2x0

＝＝－，又kOP＝.

y0x0?x0＋2?y0

∴kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．

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