专题5 第1讲 直线与圆(2)

|2k2＋2b|

A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，

k2＋113

S△APQ＝|PD|·d＝4|k2＋b|·k2＋b＝4(k2＋b) 2233

＝4(k2－2k＋2)＝4[(k－1)2＋1].

22

当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．

解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x2＝4y上，11

则以点P为切点的切线的斜率为y1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，

22

1

即y＝x1x－y1，

2

1

同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.

2

?

设两条切线均过点A(x，y)，则?1

y＝?2xx－y.

0

0

0

20

2

1

y0＝x1x0－y1，

2

点P，Q的坐标均满足方程

11

y0＝xx0－y，即直线PQ的方程为：y＝x0x－y0，

22代入抛物线方程x2＝4y消去y可得： x2－2x0x＋4y0＝0 |PQ|＝＝

1

1＋x2|x－x| 4012

121＋x04x20－16y0 4

12

|x0－2y0|2

A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝，

12

x＋140112S△APQ＝|PQ|d·|x20－4y0|·x0－4y0 2213＝(x20－4y0) 22

13132＝(x20－4x0＋8)＝[(x0－2)＋4] 2222

当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．

3

10．已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲

4线C.

(1)求曲线C的方程；

→→→→

(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)设P(x，y)，

3

则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，

4yy3

·＝－(x≠±2)，

4x＋2x－2

x2y2

整理得曲线C的方程为＋＝1(x≠±2)．

43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．

2x1y2→→y1－y11由OM⊥ON得·＝－1，又＋＝1.

x1x143

解得直线MN方程为x＝±12

.原点O到直线MN的距离d＝712. 7

若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m. y＝kx＋m??22由?xy得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. ??4＋3＝1－8km4m2－12∴x1＋x2＝2，x1·x2＝2. (*)

4k＋34k＋3

→→y1y2由OM⊥ON得·＝－1，整理得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.

x1x2代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．

此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0. 此时原点O到直线MN的距离 d＝|m|

＝k2＋1

12. 7

12.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方7

故原点O到直线MN的距离恒为d＝12

程为x2＋y2＝.

7

一、选择题

11．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，

则直线l的方程为( )

A．x－y＋5＝0 C．x－y－5＝0 [答案] A

[解析] 设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，

3－2故直线CD的斜率kCD＝＝－1，

－2－?－1?1

则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，

kCD故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.

12．过点(2，－1)的直线l与圆x2＋y2－2y＝1相切，则直线l的倾斜角的大小为( ) A．30°或150° C．75°或105° [答案] D

[解析] 设直线l为y＝k(x－2)－1，代入x2＋y2－2y＝1，得(1＋k2)x2－4k(k＋1)x＋4(k＋1)2－2＝0，由Δ＝16k2(k＋1)2－4(1＋k2)[4(k＋1)2－2]＝0，得k＝－2±3，倾斜角为105°或165°.

13．(2013·宣城市六校联考)过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )

A．1条 C．3条 [答案] D

[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．

14．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是( )

A．a>7或a<－3 B．a>6或a<－6

C．－3≤a≤－6或6≤a≤7

B．2条 D．4条 B．45°或135° D．105°或165° B．x＋y－1＝0 D．x＋y－3＝0

D．a≥7或a?－3 [答案] C

[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，

|2?－1?＋a|??5<5由?|2?－1?＋a＋1|

2

5

得－6

两条直线都和圆相离时，

??

由?|2?－1?＋a＋1|

>??5

2

|2?－1?＋a|>55

得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值

5范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.

二、填空题

15．(2013·杭州质检)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B1

＝sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________． 2

[答案] 27 1

[解析] 由正弦定理得a2＋b2＝c2，

2∴圆心到直线距离d＝|c|

＝a2＋b2c

＝2， 12c2

∴弦长l＝2r2－d2＝29－2＝27.

16．(2013·合肥质检)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦长为23，则m＝________.

[答案] 0

[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d＝三、解答题

17．(文)(2013·海口调研)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)经过点(1，3)． (1)求圆C的方程；

→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→

＝OA＋OB(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不22

|m＋1|m2＋1

＝1，解得m＝0.

存在，请说明理由．

[解析] (1)由圆C：x2＋y2＝r2，再由点(1，3)在圆C上，得r2＝12＋(3)2＝4， 所以圆C的方程为x2＋y2＝4.

(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． ①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，

?y＝k?x＋1?＋1，?

联立?22消去y得，

?x＋y－4＝0.?

(1＋k2)x2＋2k(k＋1)x＋k2＋2k－3＝0，

2k?k＋1?2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，

1＋k21＋k2k2＋2k－32k－4

x1x2＝＝1＋，

1＋k21＋k22k＋4

y1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝－3，

1＋k2因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，

222

因此，得x21＋y1＝4，x2＋y2＝4，

x1＋3x2y1＋3y23→→1→

由OM＝OA＋OB得，x0＝，y0＝，

2222x1＋3x22y1＋3y22

由于点M也在圆C上，则()＋()＝4，

22

22

x1＋y2x23312＋y2

整理得＋3·＋x1x2＋y1y2＝4，

4422

2k－42k＋4

即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋＋(－3)＝0，

1＋k21＋k2从而得，k2－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为 y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0. ②若直线l的斜率不存在，

－1－33－3

则A(－1，3)，B(－1，－3)，M(，)

22－1－323－32

()＋()＝4－3≠4，

22故点M不在圆上与题设矛盾，

综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.

(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

的2

椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；

(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

[解析] (1)因为a＝2，e＝

2

，所以c＝1， 2

x22

则b＝1，即椭圆C的标准方程为＋y＝1.

21

(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝，

2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)． ∴kPQ＝－1，kOP＝1， ∴kOP·kPQ＝－1， 即OP⊥PQ，

故直线PQ与圆O相切．

(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，

2则y20＝2－x0，kPF＝

x0＋1y0，kOQ＝－，

y0x0＋1

x0＋1

∴直线OQ的方程为y＝－x，

y02x0＋2

∴点Q(－2，)，

y0

y0－

∴kPQ＝

2x0＋2

2

y0y0－?2x0＋2?

＝ x0＋2?x0＋2?y0

－x2x0y00－2x0

＝＝－，又kOP＝.

y0x0?x0＋2?y0

∴kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库专题5 第1讲 直线与圆(2)在线全文阅读。