专题5 第1讲 直线与圆

专题五 第一讲

一、选择题

1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( ) A.2 C.3 [答案] B

[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)， 2a2≠18，求得a＝－1，

2

∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为

3

82＝.故选B.

312＋?－1?22

|6－|

3

82B. 383D.

3

d＝

2．(2013·山东潍坊模拟)若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是( )

A．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋4＝0 [答案] B

[解析] 结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y1

－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.

2

3．(文)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为( )

A.13 439C. 13[答案] D

[解析] 由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 213

圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，

13∴截得弦长为2R2－d2＝248394－＝. 1313

B．4 839

D.

13B．x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0

(理)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋2＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( ) πA. 62πC. 3[答案] D

|2|

[解析] 弦心距d＝＝1，半径r＝2，

22π

∴劣弧所对的圆心角为. 3

4．(2014·湖南文，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )

A．21 C．9 [答案] C

[解析] 本题考查了两圆的位置关系．

由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝25－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m＝9.

15．(文)(2014·哈三中二模)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x2上，且恒与定直线l

4相切，则直线l的方程为( )

A．x＝1 1

C．y＝－

32[答案] D

[解析] ∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．

(理)(2014·河北衡水中学5月模拟)已知圆的方程x2＋y2＝4，若抛物线过点A(0，－1)、B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )

x2y2

A.＋＝1(y≠0) 34x2y2

C.＋＝1(x≠0) 34[答案] C

[解析] 如图，设圆的切线l为抛物线的准线，F为焦点，过A、B、O作l的垂线，垂

x2y2

B.＋＝1(y≠0) 43x2y2

D.＋＝1(x≠0) 431

B．x＝ 32D．y＝－1 B．19 D．－11 πB. 35πD. 6

足为C、D、E，由抛物线的定义知，|FA|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝2|OE|＝4，由椭圆定义知F在x2y2

以A、B为焦点的椭圆上，所以方程为＋＝1，x＝0时不合题意，故选C.

34

6．(2014·福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”1

是“△OAB的面积为”的( )

2

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 [答案] A

[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝2|k|

， 1＋k21|k|1

∴S△OAB＝×|AB|·d＝2＝，∴k＝±1，

2k＋12

1

因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．

21

“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，

2∴必要性不成立，故选A. 二、填空题

7．(2013·天津耀华中学月考)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．

[答案] 2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

[解析] 本题主要考查直线方程的求法，属中档题．

当直线斜率不存在时，则直线方程为x＝3，则A、B两点到x＝3的距离分别为d1＝5，d2＝1，不符要求．故直线斜率存在，设为k，则直线方程可设为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，

|－2k－3k＋2||4k＋2－3k＋4|2则由题意得＝，解得k＝－或k＝2，

31＋k21＋k2故直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.

1

弦长为|AB|＝21－d2＝2，1＋k

B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件

8．(文)(2013·天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

[答案] (－13,13)

[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题． 要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．

即

|c|

<1，解|c|<13，

122＋52∴－13

(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x、y∈R.若A?B，则实数k的取值范围是________．

[答案] [－3，3] [解析] 要使A?B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离， ∴d＝2

≥1，解得－3≤k≤3. 1＋k2三、解答题

9．(文)(2013·哈尔滨市质检)已知圆C1：x2＋y2＝r2截直线x＋y－抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在圆C1上．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．

1[解析] (1)易求得圆心到直线的距离为，

2所以半径r＝上，得p＝2，

所以x2＝4y.

(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)， B(x1，y1)，C(x2，y2)．

13p

??2＋??2＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，)在圆x2＋y2＝1222

2

＝0所得的弦长为3.2

将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0， ∴x1x2＝－4k.

x2x

因为抛物线y＝，所以y′＝，

42x1x2所以两条切线的斜率分别为、，

22－4kx1x2所以·＝－1＝，所以k＝1.

224故所求直线方程为x－y＋1＝0.

(理)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C方程；

(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得 x2＋?y－2?2＝y2＋4， 化简得x2＝4y.

(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，

2??x＝4y由?消去y得x2－4kx－4b＝0. ?y＝kx＋b?

??x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则?，且Δ＝16k2＋16b

??x1x2＝－4b

11

以点P为切点的切线的斜率为y′1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，

22112

即y＝x1x－x1.

24

11同理过点Q的切线的方程为y＝x2x－x2.

242

两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，

?

解得?xx

y＝?4＝－b

A

12x1＋x2xA＝＝2k

2

，即A(2k，－b)．

则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，

代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16>0， |PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝41＋k2k2＋b，

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