固体物理(1)(4)

考虑近邻原子间的相互作用)。

解:设最近邻原子间的恢复力系数为?，则:

mx????xn?xn?1????xn?xn?1?

n..xn?Ae?i??t?naq?

将试探解代入振动方程得色散关系: ??2由玻恩---卡门周期性边界条件:

q1 Naq?2π?s x1?x1?N eiNa??msinaq 2q?2πππ55s ??q? ??s? 5aaa22s??2,?1,0,1,2 q??4π2π2π4π,?,0,, 5a5a5a5a??2?msinaq 22π?π,?21?2sin,?3?0,?4??2,?5??1 5m5?1?2?msin例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动

模式数为多少?

晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn 金刚石结构为复式格子,每个原胞有2个原子。

m?3,n?2,有6支格波，3支声学波，3支光学波。振动模式数为6N。

例1：证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原子链的模式密度

?(?)?2N2(?m??2)?1/2 π证明：(法一) 一维单原子链

??2aqaq sin ??msin2m2??ππ?q? 共有N个值 aaNNaL?(q)???

2π/a2π2π 16

dq间隔内的振动模式数为:

L2πdq ?~??d?间隔内的振动模式数为：

?n?2?Ldq2πd?d?

(因子2是因为一个?对应于正负两个波矢q，即一个?对应两个振动模式。)

??2?aqmsin2 ??sinaqm2

??d?aaqa?1/q?dq? ?m2cos2 ??m2??1??2?22??? ?a1/2m??2??2m??2?

?n?2?Ldq2L1/22πd?d? ?2?L12πa2??2m??2?1/2d? ?a??2m??2π??d?

?(?)?2N(?2m??2)?1/2π

(法二)

一维单原子链只有一支格波，且??2?aqmsin2 ??aqmsin2

3n??????V?c2π?3??1?dss?q???q? (式中?m为截止频率)

?对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为

L2π 1/2??aaq ??a??2?aq? ?m2cos2m2???1??2?? ???2m??2?1/2

m?2?(?)?L2L22π???q2πa?2??21/2Na2?m?

?(?)?L2L22π???q2πa??2??22m?1/2?2N(?2m??2)?1/2

π

例2：三维晶体，???cq其中c为常量，求??(?)

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qy qx

解：??????

Vcds 3?s?2π???q???q?在波矢空间，等频率面为球面，球半径为q。

??q?c

Vc?2Vc4πq2Vc4π??? ????????? ?23 33c?2π??2π?c?c?2πc2第四章

1、什么叫空位？

答：当某一原子具有足够大的振动能而使振幅增大到一定限度时克服周围原子对它的制约作用，跳离其原来的位置，使点阵中形成空结点，称为空位。 2、什么叫肖特基缺陷、弗伦克尔缺陷？

答：肖特基缺陷：当晶体中的原子脱离格点位置后不在晶体内部形成填隙原子，而是占据晶体表面的一个正常位置，并在原来的格点位置产生一个空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。 弗仑克尔缺陷：当晶格中的原子脱离格点后，移到间隙位置形成填隙原子时，在原来的格点位置处产生一个空位，填隙原子和空位成对出现，这种缺陷称为弗仑克尔缺陷。 3、什么叫色心、增色过程？

答：能吸收可见光的晶体缺陷称为色心。 把碱卤晶体在碱金属的蒸汽中加热，然后使之聚冷到室温，则原来透明的晶体就出现了颜色，这个过程称为增色过程。 4、什么叫极化子

答：产生的电子束缚态称为自陷态，同杂质所引进的局部能态有区别，自陷态永远追随者电子从晶格中一处移到另一处，这样一个携带者中纬度晶格畸变而运动的电子，可看作一个准粒子（电子+晶格的畸变），称为极化子。 5、了解刃型位错和螺旋位错的产生机制 6、求热缺陷的数目 答：平衡状态下晶体内的热缺陷数目可以通过热力学的平衡条件求得。系统处于热平衡的条件是：系统的自由能F最小。自由能F可表达成如下形式：F?U?TS U是内能，S是熵T是绝对温度。由?????F???0 可求热缺陷的数目。 ??n??T7、替位式杂质原子扩散系数高于晶体缺陷自扩散系数的原因是什么

答：当杂质原子以替代方式出现时，由于杂质原子占据了正常格点，所以其扩散的方式同自扩散更为近似，但由于外来原子和晶体中的基本原子的大小及电荷数目有所不同，因此当它

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们替代晶体中的原子后，会引起周围畸变，使得畸变区域出现空位的概率大大增加，这样杂质原子跳向空位的概率也加大，也就加快了杂质原子的扩散，即替代式杂质原子的扩散系数比晶体自扩散系数大。

第五章

1、写出bloch波函数，推导bloch定理。

??????????ik?Rn答：?(r?Rn)?e?(r), 其中k 为电子波矢，Rn?n1a1?n2a2?n3a3是格矢。

推导bloch定理：

(1)引入平移对称算符

?,H?]?0 (2)说明: [T????? (3) T?(Rn)?eik?R

n证明：(1)平移对称算符

?????T(Rn)f(r)?f(r?Rn) r变到r＋Rn的平移对称操作 ??2???????T(Rn)f(r)?T(Rn)f(r?Rn)?f(r?2Rn)

?l???? T(Rn)f(r)?f(r?lRn)

?(r) f(r)可以是V(r)，?(r)，H(2)

?,H?]?0[T2?????2?H????V(r) V(r)?V(r?Rn), 2m在直角坐标系中：

??2?2?2?2?2?2?2? ?(r)?2?2?2??(r?Rn) ???222?x?y?z?(x?n1a1)?(y?n2a2)?(z?n3a3)2?具有晶格周期性。 晶体中单电子哈密顿量H???????????????T(Rn)H(r)?(r)?H(r?Rn)?(r?Rn) ?H(r)T(Rn)?(r) ?,H?]?0 [T平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。

?的本征函数，那么 由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数?(r)是H?????(r)也一定是算符T(Rn)的本征函数。

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(3)

??????????Tik?Rn(Rn)???e?(R)对应的本征值为设T?(Rn)，则有 n????????T(Rn)?(r)??(r?Rn)??(Rn)?(r)、

根据平移特点

??n1??n2??n3?????????????T(aT(a2)T(a3) T(Rn)?T(n1a1?n2a2?n3a3)?T(n1a1)T(n2a2)T(n3a3) 1)??????可得到

T?(R???r?)???(a?n?n?n?n)?(r)??(Rn)?(1)?1??(a2)?2??(a3)?3?(r)

即 ?(R?)?

n??(a?1)?n1??(a?2)?n2??(a?n33)??(a???1)、?(a2)、?(a3)??

设晶体在a??、a?1、a23方向各有N1、N2、N3个原胞,

由周期性边界条件 ?

??(r?????(r?)??(r)??(r??N1a1)?N?2a2) ???(r?)??(r??N?3a3)

根据上式可得到

T??N1a?1??(r?)???(a?1)?N1?(r?)??(r??N??1a1)??(r) ?l1?(a?N ?(a?i2π11)??1 1)?eN1

?i2πl2l3同理可得：?(aN?i2πN2)?e2, ?(a3)?e3

这样

T?(R?n) 的本征值取下列形式 ?(R?i2π(n1l1?n2l2?n3l3)

n)?eN1N2N3引入矢量k?lb???11N?l2b2?l3b3 1N2N3式中b?????1、b2、b3 为晶格三个倒格基矢，由于ai?bj?2π?ij ?(Rnik?)?e?R?n

?(r??R?ik??R?n)?en?(r?) ---布洛赫定理

,

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