数学文卷·2015届浙江省台州中学高三上学期第一次统练(2014.09)(3)

②当?1??2a?3?1，即?3?a?0， 32a?32a?3]为增函数，在[?,1]上为减函数， f(x)在[?1,?33所以(f(x))min?min?f(?1),f(1)?，

2??f(?1)?a?3a?2?0得??a?2或a??2

2??f(1)?a?a?2?0由此得?3?a??2； ③当?2a?3??1，即a?0， 3 f(x)在x?[?1,1]上为减函数，

所以(f(x))min?f(1)?a?a?2?0 得a?2或a??1，由此得a?2；

由①②③得实数a的取值范围为a?2或a??2．

【题文】22．（本小题满分10分）已知抛物线C:y?2px(p?0)，F为抛物线C的焦点，

22A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A，且?PQF?90，求抛物线方程； （2）设点M(m,0)在x轴上，若要使?MAF总为锐角，求m的取值范围． 【知识点】圆锥曲线综合问题，向量法的应用，恒成立问题. H7 H10 F3 【答案解析】（1）y2?22x；（2）0?m??9pp且m? 22解析：（1）由题意可知：AQ?AF,?PQF?90,?A为PF的中点.

p?p??p?F?,0?,?A?,0?,且点A在抛物线上，代入得：1?2p?,?p?2 4?2??4?所以抛物线方程为：y2?22x. ---4分

（2）设A?x,y?,y?2px，根据题意：?MAF为锐角得：AM?AF?0且m?2p 2p??p??AM??m?x,?y?,AF???x,?y?， ??x?m??x???2y?0

2??2??即x??2pm?p??m?x??y2?0，

2?2?pm?3p?y2?2px,?x2???m?x??0对x?0都成立.

22??pm?3pm?mp?3pm??3p?令f?x??x2???m?x???x?????????0

242?2?42??2??对x?0都成立

22m3p3pmp3pm2时，只要使??0，即m??(?)?0成立，

242242p9p3p 整理得：4m2?20mp?9p2?0??m?，且m?，

2223p9p所以． ?m?22m3p3pmp② 若?，只要使?0，即m??0成立，得m?0

24223p 所以0?m?.

29pp由①、②得m的取值范围是0?m?且m?．??10分

22① 若

【思路点拨】(1)由抛物线的定义的AQ?AF,又?PQF?90,所以A为PF中点，

p?p??p?F?,0?,?A?,0?,且点A在抛物线上，代入得：1?2p?,?p?2 4?2??4?所以抛物线方程为：y2?22x. （2）把条件用向量表示：设A?x,y?,y2?2px，根据题意?MAF为锐角得：AM?AF?0且m?

p，然后转换向量的坐标运算求m范围. 2

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