数学文卷·2015届浙江省台州中学高三上学期第一次统练(2014.09)(2)

cm3．

【知识点】三视图；锥体的体积公式. G2,G7

【答案解析】2解析：解：由三视图知：几何体为棱锥，如图

其中SA?平面ABCD，SA=2,四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积V?11?2??2?2?2 32【思路点拨】根据三视图作出原图，利用体积公式求出体积.

【题文】15．如图AB是半圆O的直径，C,D是弧AB的三等分点，M,N是线段AB的

三等分点，若OA?6，则MC?ND? ． 【知识点】向量数量积运算.F3 【答案解析】26 解析：

MC?ND?MO?OC?NO?OD????第15题

1112?1??1????OA?OC???OA?OD???OA?OA?OD?OA?OC?OC?OD

933?3??3?3611?OAOD?OC?OC?OD??4?OA?CD?OC?OD 933?36?6?6cos60?26. 因为CD??OA,OC与OD夹角为60，所以所求??4?3????【思路点拨】根据向量的加减运算，向量的数量积定义求解.

【题文】16．已知函数f(x)?x?3ax，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲

线y?f(x)的切线，则a的取值范围为 ． 【知识点】导数的几何意义.B11 B12 【答案解析】a?31 解析：根据题意得：f??x??3x2?3a=-1无解，即3a?1?0,所以31a?.

3【思路点拨】函数f?x?没有斜率为-1的切线，故f??x??3x2?3a=-1无解，由此求得a范围.

【题文】17．数列?an?是公比为?的等比数列，?bn?是首项为12的等差数列．现已知a9

＞b9

且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是 ．（请填写所有正确选项的序号） ．．．．① a9?a10?0； ② b10?0； ③ b9?b10； ④ a9?a10． 【知识点】数列的通项公式；数列的概念. D1,D2,D3 【答案解析】①③解析：解：因为数列?an?是公比为?232的等比数列，所以3?2?a9?a10?a92?????0①成立;而④a9?a10，只有当a9为正数才成立，不一定成立；又因

?3?为?bn?是首项为12的等差数列a9?b9,a10?b10，所以?bn?是递减数列，③成立，当公差

很小时②不成立，所以答案为①③

【思路点拨】根据数列的概念进行分析.

三、解答题：本大题共5小题，共49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18．（本题满分9分）在?ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，已知 a?2bsinA，

c?3b．

（1）求B的值；

（2）若?ABC的面积为23，求a,b的值．

【知识点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式. C9 【答案解析】（1）30；（2）?解析：（1）

?a?4或a?b?22

?b?21 2a?2bsinA,?sinA?2sinBsinA，sinA?0,?sinB??B?30或150，c?3b,?c?b,?B?30 --------4分

22222（2）由b?a?c?2accos30得：2b?3ab?a?0，即a?b或a?2b ---①

又SABC?1acsin30?23，?ac?83 -----② 2又c?3b ----③ 由①、②、③得??a?4或a?b?22 -----9分

?b?22sBinsA，iA?【思路点拨】（1）把正弦定理代入a?2bsinA得：sinsinA?0,?sinB?1，?B?30或150，c?3b,?c?b,?B?30 2（2）由余弦定理及面积公式得关于a,b的方程组，进而求出a,b值.

【题文】19．（本题满分10分）设数列?an?的前n项积为Tn，且Tn?2?2an（n∈N）．

111111,,，并证明??(n?2)； T1T2T3TnTn?12（2）设bn?(1?an)(1?an?1)， 求数列?bn?的前n项和Sn．

（1）求

【知识点】数列综合问题. D5 【答案解析】（1）略；（2）

n13115 解析：（1）?,?2,? 3n?9T12T2T32由题意可得：Tn?2?2Tn?Tn?Tn?1?2Tn?1?2Tn(n?2)， Tn?1所以

111???????5分 TnTn?12（2）数列??1?n?11n?2为等差数列，， a???nn?2Tn2?Tn?1，

(n?2)(n?3) 所以bn?Sn?111n??10分 ?????3?44?5(n?2)?(n?3)3n?9111,,. T1T2T3【思路点拨】（1）依次把T1,T2,T3代入Tn?2?2an得

由Tn?2?2an（n∈N）an?Tn得： Tn?1Tn?2?2Tn111?Tn?Tn?1?2Tn?1?2Tn(n?2)，所以?? Tn?1TnTn?12（2）由（1）得数列??1?n?11n?2，从而an? ?为等差数列，可得?n?2Tn2?Tn?所以bn?1111n，Sn? ?????(n?2)(n?3)3?44?5(n?2)?(n?3)3n?9【题文】20．（本题满分10分）如图，底面ABC为正三角形，EA?面ABC， DC?面

ABC，EA?AB?2DC?2a，设F为EB的中点． （1）求证：DF//平面ABC；

（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

[Z#X#X#K]

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成角的概念. G4,G11 【答案解析】证明：过F作FH//EA交AB于H，连结HC，因为EA?平面ABC，DC?平面ABC，所以EA//DC,又FH//EA,?FH//DC，而F是EB

1AE?DC，所以四边形CDFH是平行四边形，所以DF//HC,又2HC?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF//平面ABC. (2)ABC为正三角形，H为AB中点，

?CH?ABEA?面ABC，CH?面ABC，CH?EA，EA?AB=AEA、AB?面EAB，?CH?面EAB，DF//CH?DF?面EAB?AF为DA在面EAB上的射影，所以?DAF为直线AD与平面AEB所成角，在RTAFD中

的中点，?FH?AF=2a,AD?5a,DF?3a,sin?FAD?弦值为15，所以直线AD与平面AEB所成角的正515 5322【思路点拨】利用平行四边形证明线线平行，再利用定义证明直线与平面平行，根据直线与平面所成角的概念找出直线与平面所成的角，介入三角形进行计算.

【题文】21．（本题满分10分）已知函数f(x)?x?ax?(2a?3)x?a（a∈R）． （1）若函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，求实数a的取值范围； （2）若当x?[?1,1]时，f(x)?0，求实数a的取值范围． 【知识点】导数的应用，恒成立问题. B12 E8 【答案解析】（1）a??3 （2）a?2或a??2

解析：（1）f?(x)?3x?2ax?(2a?3)?(3x?2a?3)(x?1) 令f?(x)?0, 得x?1,或x??22a?3， 3 使函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，

则?2a?3?1,解得：a??3 ． ??4分 3（2）由题意知，即使x?[?1,1]时，(f(x))min?0． ①当?2a?3?1，即a??3时，f(x)在x?[?1,1]上单调递增， 32 ?(f(x))min?f(?1)?a?3a?2?0，得a??1或a??2， 由此得：a??3；

②当?1??2a?3?1，即?3?a?0， 32a?32a?3]为增函数，在[?,1]上为减函数， f(x)在[?1,?33所以(f(x))min?min?f(?1),f(1)?，

2??f(?1)?a?3a?2?0得??a?2或a??2

2??f(1)?a?a?2?0由此得?3?a??2； ③当?2a?3??1，即a?0， 3 f(x)在x?[?1,1]上为减函数，

所以(f(x))min?f(1)?a?a?2?0

得a?2或a??1，由此得a?2；

由①②③得实数a的取值范围为a?2或a??2．??????10分

【思路点拨】（1）若函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，则f??x??0在区间(1,??)上有解，由此得关于a的不等式. (2)命题为f(x)?0在x?[?1,1]时恒成立，所以只需

2(f(x))min?0．而f?(x)?3x2?2ax?(2a?3)?(3x?2a?3)(x?1)，所以

①当?2a?3?1，即a??3时，f(x)在x?[?1,1]上单调递增， 32 ?(f(x))min?f(?1)?a?3a?2?0，得a??1或a??2， 由此得：a??3；

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