第3章 动量守恒定律和能量守恒定1(4)

在初始时系统机械能为

E1?EP?m?glsin? （2）

当矿车返回原位置时，系统的机械能为

E2?mglsin???m??m?gxsin? （3）

其中??m??m?gxsin?为被卸下的货物的重力势能。 根据功能原理，在整个过程中

Wf??E?E2?E1

将（1）（2）（3）代入上式有

??0.25m?g?0.25mg?(l?x)??m?m??g?l?x?sin?

整理得

3-16 一质量为m的地球卫星，沿半径为3RE圆轨道运动，RE为地球的半径。已知地球的质量为mE. 求：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星的机械能。

解 （1）卫星绕地球作圆周运动，其向心力由它与地球之间的万有引力提供，即

m1? m?3GmmEmv2? 2rr其中卫星与地球间距离（即圆轨道的半径）为r?3RE，代入上式得卫星的动能为

Ek?12GmmEmv? 26RE（2）取卫星与地球相距无限远时势能为零，根据引力作功等于引力势能增量的负值可得，在r?3RE时，卫星的势能为

EP???E??EP????r?GmmEGmmEr?dr=? r33RE（3）卫星的机械能为

E?Ek?EP?

GmmEGmmEGmmE ???6RE3RE6RE3-17 如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋

面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。

解 由受力分析可知，冰块在滑行时，屋面对它的

FN 支持力FN总是与其运动方向垂直，即支持力对其作功FN A B 为零，整个过程只有重力作功，冰块，屋面和地球组成? P ? 的系统满足机械能守恒。 vB P设冰块从顶点A滑到B处，由机械能守恒得

O 12 mgR?mgRcos??mvB2（1）

在B处，冰块在径向方向的动力学方程为

2mvB （2） mgcos??FN?R若此时冰块刚好离开屋面，即FN?0，代入上式并联合（1）式可得 ??arccos2?48.2? 32Rg 3?代入（2）式得此时冰块的速率为

vB?gRcos??其方向与水平方向所成夹角为 ??48.2

3-18 如图所示，把质量m?0.20kg的小球放在位置A

C B 时，使弹簧被压缩?l?7.5?10m. 然后在弹簧弹性力的作用下，小球从位置A由静止被释放，小球沿轨道ABCD?2r O D 2r ?运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知BCD是半径

半圆弧，AB相距为2r．求弹簧劲度系数的最r?0.15m小值．

A

解 要使小球能沿轨道ABCD运动，即要求小球运动到最高点C时，轨道对小球的支持力为FN?0，即

mvC2?mg （1） r又小球在被释放后的运动中，只有重力与弹力对其作功，小球与弹簧组成的系统满足机械能守恒定律。取位置A为重力势能零点，由机械能守恒可知小球从A运动到C有

1122k??l??mvC?mg?3r? （2） 227mgr 由（1）、（2）可得 k???l??12

代入已知数据可得，所需弹簧劲度系数的最小值为 kmin?366N?m

3-19 如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为m?的靶，靶中心有

一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解 由题意分析可知，子弹与靶相碰

v 后，靶受弹力向前加速运动，子弹仍向前减

k 速运动，当两者达到相同的速度v1时，弹簧压缩达到最大长度x0. 取子弹与靶为一个系统，它在水平方向不受外力作用，由动量守恒

mv??m?m??v1 （1） 又由机械能守恒有

12112 （2） mv??m?m??v12?kx0222mm?v

k?m?m??由（1）（2）可知弹簧最大压缩距离为 x0?

3-20 质量为m的弹丸A，穿过摆锤B后，速率由v减少到v2，已知摆锤的质量为m?，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？

解 取弹丸和摆锤为系统，二者在相互作用中冲击力的冲量远大于重力与绳中张力的冲量，在水平方向上满足动量守恒定律，即

vmv?m?m?v? （1）

2其中v?为摆锤所获得的速率。

要使摆锤能完成一个完全的圆周运动，则摆锤运动到最高点时，它所受到的张力满足FT?0，在最高点O处有

v v? v2?2m?vO?m?g （2） l摆锤获得速率v?后，从最低点运动到最高点，由机械能守恒有

11?2 （3） m?v?2?m?g?2l??m?vO22由（1）（2）（3）式可得弹丸速度的最小值为

vmin

2m??5gl m?233-21 质量为 7.2?10kg，速率为6.0?107m?s?1的粒子A，与另一个质量

为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为

5.0?107m?s?1.求（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒

子A的偏角。

解 由题意可知，两粒子在碰撞过程中不受外力作用，并且发生完全弹性碰撞，所以这两个粒子组成的系统满足动量守恒定律和机械能守恒定律。

如图所示，在碰撞平面内建立坐标系，取碰前粒子A的速度vA方向为Ox轴正方向。设碰撞后A、B

y ? vAvA ? ? x

? vB?、vB?，由动量守恒可得 的速度分别为vA1??mvB? mvA?mvA2上式在x，y轴上的分量式为

?cos??mvA?mvAm?cos? （1） vB2?sin??mvA又由机械能守恒得

m?sin? （2） vB21211m22mvA?mv???v?AB （3） 2222由（1）（2）（3）式并代入已知数据得碰撞后B 的速率为

2??2?vA?2??4.69?107m?s?1 vB?vA粒子B相对粒子A原来速度方向的偏角为??arccos?3vB?54?6? 4vA2?2vA?3vA?22?20? 粒子A相对其原来速度方向的偏角为??arccos?4vAvA

3-22如图所示，一质量为m?的物块放置在斜面的最底端处，斜面的倾角为?，高度为h，物块与斜面的动摩擦因数为?，今有一质量为m的子弹以v0速度沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动。求物块滑出顶端时的速度大

小。

解 子弹射击物块的过程中，在斜面方向上满足动量守恒，设子弹射向物块后取得共同速度为v1，方向沿斜面向上，则有

v0

? h mv0cos???m?m??v1 （1）

子弹与物块一起沿斜面上滑，此过程中只有摩擦力与重力作功。设物块滑到顶端时的速度为v2，取斜面底端为势能零点，由功能原理可知 ???m?m??gcos?h112??m?m??v2??m?m??gh??m?m??v12 （2） sin?222由（1）（2）式可得物块滑出顶端的速率为

?m?v2??v0cos???2gh??cot??1?

?m??m?

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