dx?d?1?co?t???1?d 2sin???代入（1）式，积分元?从30到37积分得
W?1.69J
3-9 一人从10.0m深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水。水桶被匀速地从井中提到井口，求人作的功。 解 由题意可知，水桶被匀速提升，即水桶所受的拉力F与
重力P始终平衡，且拉力大小随重力变化不断变化，方向竖直向上。
如图，以水桶起始位置为坐标原点，竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则水桶重力P的大小随其位置变化的关系式为
y F
10.0m P?mg?0.20y
由前面分析可知，水桶所受的拉力F大小为 m为水桶初始质量，
F?P?mg?0.20y
方向沿y轴正方向，所以人对水桶的拉力做功为 W?
P
O ?100F?dy??100?mg?0.20y?dy?882J
3-10 一质量为0.20kg的球，系在长为2.00m的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成30角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从30到0角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位置时的张力。
解 （1）重力是保守力，其作功只与物体始、末位置有关。如图所示，小球从A点到B点在竖直方向下落的高度为
???h?l(1?cos30)
所以，此过程中重力作功为
?O F WP?mgh?0.53J
又在A到B点的运动过程，绳对小球的张力始终与小球的运动方向垂直，所以张力所作的功为
A P B h WF?0J
（2）小球从A到B，只有重力作功，由动能定理， EkB?EkA?WP
又在A点，小球动能为零，
所以，在最低位置B处小球的动能为
EkB?WP?0.53J
速率为 vB?2EkBm?2.3m?s?1
（3）在最低位置B处，由牛顿定律可知
mvB2 FB?mg?lmvB2所以 FB?mg??2.49N
l
3-11 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离r按
F?kr3的规律而变化，其中k为常量。试求两粒子相距为r时的势能。（设力为
零的地方势能为零）
解 由F?kr可知，在r??时，F?0，设两粒子相距无穷远处为系统势能的零点。当两粒子距离发生变化时，由于排斥力的作用，系统势能会发生变化，并且排斥力所做的功等于势能增量的负值。将其中一个粒子从无穷远处移至与另一粒子相距为r时，系统的势能为
3EP??(E??EP)?W??F?dr??r??rkdr 3r所以 EP?
k 22r3-12 如果一物体从高为h0处静止下落。试以（1）时间t为自变量，（2）高度h为自变量，画出它的动能和势能图线，并证明两曲线中动能和势能之和相等。 解 （1）以时间为变量
从物体下落开始计时，t时刻物体的速度为 v?gt 动能为
11Ek?t??mv2?mg2t2 （1）
22以地面上一点为原点，竖直向上为坐标轴正方向，同时取原点处为势能原点，所以t时刻物体的势能为 EP?t??mg(h0?121gt)?mgh0?mg2t2 （2） 22由（1）（2）两式作Ek?t、EP?t图 在任意t时刻动能与势能之和为
E mgh0 EP E?t??Ek?t??EP?t??mgh0
Ek 由上式可见，动能与势能之和为一个恒定值。
（2）以高度为自变量
仍取第（1）问所建立的坐标系，物体下落到h处，由运动学公式，物体的速率为
t
v?2g(h0?h)
动能为
Ek?h??12mv?mgh0?mgh （3） 2此时物体的势能为
EP?h??mgh （4）
由（3）（4）两式作Ek?h、EP?h图 在任意高度h处，动能与势能之和为
E mgh0 EP E?h??Ek?h??EP?h??mgh0
h 由上式可见，动能与势能之和仍为一个恒定值。
3-13 一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质
点在粗糙的水平面上作半径为r的圆周运动。设质点的最初速度是v0. 当它运动一周时，其速率为v02. 求：（1）摩擦力作的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？
解 质点在水平面上作圆周运动受到指向
Ek FTO Ff v 圆心的拉力FT和与运动方向相反的摩擦力Ff，但拉力方向始终垂直于质点运动方向，它对质点不作功，所以质点动能的减少是由于摩擦力对其作负功。
（1）质点运动一周后，速度由v0减少到v02，由动能定理可得摩擦力作功为
1?v?1232WFf??Ek?m?0??mv0??mv0
2?2?28（2）设动摩擦因数为?，质点受到的摩擦力的值为Ff??mg 由于摩擦力方向与运动方向相反，所以
2WFf??Ffs??2?r?mg
根据上问结果可得，质点与水平面的动摩擦因素为
23v0??
16?rg（3）质点的损失的动能都用于克服摩擦力作功，由第一问可知，质点运动一圈损失动能为?Ek?32mv0，那么在静止前质点可运行的圈数为 8Ek04? ?Ek3n?
3-14 如图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和
m2. 问在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B
稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）
y N O M （a） （b） A F1 P1 F B P1 ?F2 F2 FN （c） P2
解 如图所示，a为弹簧处于自然状态，并取此时弹簧最高处为原点O，b为连上A板并向其施加力F的情况，A板跳起到最大高度时的情况。c为施力停止后，
取原点O为重力势能和弹性势能的零点。
对于状态b中 A板受到压力F下移到M处，设它偏离原点位移大小为y1，由受力平衡得 F2?P1?F 即 P1?F?ky1 （1）
停止施力后，A板跳起到最高点N，系统处于状态c，设它偏离原点位移大小为y2，A板受竖直向下的弹力F2?ky2，若要A在跳起来时B稍被提起，即此时B板所受地面对它的支持力FN?F2??P2?0，所以有
F2?F2??P2?ky2 （2）
从b到c，由机械能守恒得
1212ky1?m1gy1?ky2?m1gy2 22将上式两边同时乘以k，考虑到P、（2）代入上式整1?m1g，P2?m2g，并将（1）理得所需压力的大小为
F?P1?P2?(m1?m2)g
3-15 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m?，从与水平成倾角
??30.0?斜面上的点A由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下
滑距离l时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，
矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？
解 矿车沿斜面下滑、上滑的整个过程中，受到
l 重力、阻力、弹力和垂直于斜面的支持力的作用，其中支持力不作功，重力和弹力为保守力，阻力为非保
守力，我们可以由功能原理来解题。
如图，取沿斜面向上为x轴正方向，弹簧原长时的位置为原点O，并规定原点位置为势能零点。设弹簧被压缩到最大时偏离原点的位移大小为x。
设矿车返回时质量为m，则在整个过程中摩擦力做功为 Wf???0.25m?g?0.25mg?(l?x) （1）
A
? x
l x O ?
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第3章 动量守恒定律和能量守恒定1(3)在线全文阅读。
相关推荐：