物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。
解 从所给的条件分析，本题有两种解法。一是直接利用冲量的定义式，二是根据物体运动的始、末状态，利用动量定理来求解。
方法一 如图所示建立Oxy坐标系，物体从发射点到最高点A所用的时间为
y v0 A O ? B x
?t1?v0sin? g由冲量定义，从发射点到最高点的过程中重力的冲量为
I1??Fdt??mg?t1j=?mv0sin?j
?t1同理，物体从发射点O落到B所用的时间为
?t2?此过程重力的冲量为
2v0sin? gI2??Fdt??mg?t2j=?2mv0sin?j
?t2方法二 物体在整个运动过程中只受到重力作用，由动量定理可知，物体始末动量的增量即为重力的冲量。右图分别为两过程中动量矢量图。
P0 所以物体由发射点O运动到A、B过程中重力的冲量分别为
P0 ? I1?PA?PO??POsin?j=?mv0sin?j
? PA
I2?PB?PO??2POsin?j=?2mv0sin?j
PB
3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使它被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s. 求安全带对人平均冲力。
解 人从跌落到最终被悬挂，受到重力P和安全带对他的冲力F的作用，但二者作用时间不同，重力作用于整个过程中，而安全带只作用于缓冲阶段。 由题意可知，安全带对人的作用时间为 ?t1?0.5s，而重力的作用时间为人自由落
体到h?2.0m处的时间与缓冲作用时间之和，即 ?t2?2h??t1 g取竖直向下为正方向，人初始下落和最终被悬挂时的速度均为零，所以对于整个过程，人的动量增量为零，由动量定理有
F?t1?P?t2?0
由上式可知，安全带对人的平均冲力的大小为
F?
mg2hg?mg ?t13-4 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m. 爆炸后1.00s，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为1.00?10m. 问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计）
解 物体在最高点发生爆炸，其中爆炸力是内力，它远大于物体的重力，所以爆炸前后动量守恒。如图所示建立坐标系
2yv2v0x2Oxy.
Ox1v1x爆炸前，由抛体运动规律，物体在最高处的速度（起抛速度的水平分量）为
v0?x1gi?x1i （1） t02h 爆炸后，由题意可知第一块碎片获得竖直向下的速度v1，向下作自由落体运动，在t1?1s后落到爆炸点正下方的地面上 h?v1t1?12gt1 212gt12j （2） t1由上式可得，爆炸后第一块碎片的速度为
h? v1??设爆炸后第二块碎片的获得的速度为v2，由动量守恒有
2mv0?mv1?mv2 （3）
由（1）（2）（3）式可得
v2?2v0?v1?2x11h?gt12g2i?j （4） 2ht1由上式可得，爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为
x2?x1?v2xt2
12
y2?h?v2yt2?gt22将y2?0代入上式，并且由（4）式可得第二块碎片落地时的水平位置为
x2?500m
3-5 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦间相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m?s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为0.5?10kg和1.0?10kg，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）
解 由题意可知，A船与从B船传过来的重物在航行方向无外力，二者在作用过程中沿航行方向动量守恒；同样，在B船与A船传过来的重物相互作用过程中也满足动量守恒。如图，以A船初始航行方向为Ox轴正方向，设传递重物前A、B两船的速度分别为vA、vB，传递后的速度分别
33?1vA
A
vB
B
O x ?、vB?，重物质量为m. 为vA由动量守恒定律，对于A船与从B船传过来的重物有
? AvB?mAv ?mA?m?vA?m （1）
对于B船与从A船传过来的重物有
? （2） ?mB?m?vB?mvA?mBvB??(?3.4m?s)i代入（1）??0，vB将vA（2）式可得传递重物前两船的速度分别为
vA?0.40m?s?1i vB?(?3.6m?s?1)i
3-6 质量为m?的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成?角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加多少？（假设人可视为质点）
解 如右图所示建立坐标系，人在最高处向左抛y u v 物体的过程中，人与物体组成的系统在水平方向不受
v0 外力，满足动量守恒定律，设人抛出物体后相对地面的速率为v，则物体相对地面的速率为?v?u?，由动量守恒得
?1O x ?x x
?m?m??v0cos??m?v?m?v?u?
由上式可得，人抛出物体后的速率为
v?v0cos??mu
m??mmu
m??m由上式可见，人因向左抛出物体而获得的速率增量为
?v?v?v0cos??又人从最高处下落到地面所需要的时间为
t?v0sin? g所以，人跳跃后增加的距离为
?x??v?t?
mv0usin?
?m?m??g3-7 一火箭垂直向上发射，它的气体质量排出率恒为5.00?10m0s，其中m0是火箭最初的质量。火箭排出的气体相对于火箭的速率为5.00?10m?s. 求发射（重力略去不计） 10.0s后火箭的速度和高度。
3?1?2?1解 不计重力时，火箭在推力udm的作用下飞行，其动力学方程为 dtm对上式两边积分得
dvdm ??udtdtv?ulnm0 m设气体质量排出率为k，则t时刻火箭的质量为m?m0?kt ，代入上式得
v?ulnm0 （1）
m0?kt当t?10.0s时，代入（1）式得，此时火箭的速率为
v?3.47?103m?s?1
将v?dy代入（1）式整理得 dtm0dt
m0?ktdy?uln将上式两边积分，可得10.0s后火箭飞行的高度为
y??uln010m0dt?1.53?104m
m0?kt
3-8 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1.00kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平平面上。若用5N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成30变为37角时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面间的距离为1m.
解 如图建立坐标系，由题意知，绳对物体的拉力F大小恒定，方向随着绳与水平面的倾角变化而变化。
由功的定义可知，力对物体所作的功的大小为
??F W??F?dx=?Fcos?dx （1）
xAxAxBxBx 30 ?1m 37?A B O 又由几何关系可知，
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