文科2006年江西高考数学解析版(3)

（ ）

Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点?a，0?． 其中真命题的代号是 号）．

解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）（A）、（D）

（写出所有真命题的代

－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于

x轴，故A、D正确。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值． （1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

（2）若对x?[?1，2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围． 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b 由f?（－）＝

122323124－a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得 93a＝－，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x （－?，－） － 0 2323（－，1） 1 － 0 23（1，＋?） ＋ f?（x） ＋ f（x） ? 极大值 ? 23极小值 ? 所以函数f（x）的递增区间是（－?，－）与（1，＋?） 递减区间是（－，1）

23（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝

22＋c 271223为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c 解得c?－1或c?2 18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

（1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

992729 ?（）＝10101000192112918118131（2）法一：P2＝? （）＋?（）＋?2＋?2＝1010101010101010500119119131法二：P2＝＋2??－?2??＝

101010101010500解：（1）P1＝

法三：P2＝1－

91199131 ?（?＋?）＝101010101050019．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA?（1）求tan2B?CA?sin2的值； 2222， 3（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．

解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?＝，则

B＋CB＋CA2＋sin2Atan2＋sin2＝22cos2B＋C2

21－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33sin21322，所以cosA3（2）因为S?ABC＝2，又S?ABC＝bcsinA＝bc?133b121222，则bc＝3。将a＝2，3cosA＝，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中得b4－6b2＋9＝0解得b＝3

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA?1，

OB?OC?2，E是OC的中点．

Ａ

（1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE与AC所成的角； （3）求二面角E?AB?C的大小． 解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD?BC、AD?BC，?BC?面OAD.

Ｂ

Ｏ

Ｅ Ｃ

过O点作OH?AD于H，则OH?面ABC，OH的长就 是所求的距离. 又BC＝22，OD＝OC2－CD2

＝2，又OA?OB，OA?OC ?OA?面OBC，则OA?OD AD＝OA＋OD＝3，在直角三角形OAD中，

22A有OH＝

OA?OD26＝＝ AD33MFOEHGC（另解：由等体积变换法也可求得答案） （2）取OA的中点M，连EM、BM，则 EM//AC,?BEM是异面直线BE与AC 所成的角，易求得EM＝BM＝

5，BE＝5， 2BD172.由余弦定理可求得cos?BEM＝， 25??BEM＝arccos

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC?面OAB，得OC?AB，又OH?面ABC，所以CF?AB，EF?AB，则?EFC就是所求的二面角的平面角. 作EG?CF于G，则EG＝OH＝

OA?OB2＝ AB525126，在Rt△OAB中，OF＝6在Rt△OEF中，EF＝OE2＋OF2＝1＋＝453 563030EG30＝6＝?sin?EFG＝??EFG＝arcsin.（或表示为31818EF185arccos

76） 18注：此题也可用空间向量的方法求解。

21．（本小题满分12分）

x2y2如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c，过点F的一动直线0)，

ab，B两点，P为线段AB的中点．m绕点F转动，并且交椭圆于Ay （1）求点P的轨迹H的方程；

F B O P A D x

（2）若在Q的方程中，令a2?1?cos??sin?，

???b?sin??0??≤?．

???2l 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当?为何值时，△MNF为一个正三角形？

x2y2解：如图，（1）设椭圆Q：2＋2＝1（a?b?0）

ab上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则

222222??bx1＋ay1＝ab????（1） ?222222??bx2＋ay2＝ab????（2）1?当AB不垂直x轴时，x1?x2， 由（1）－（2）得

b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

y1－y2b2xy?＝－2＝ x1－x2ayx－c

?b2x2＋a2y2－b2cx＝0????（3）

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