毕业论文“公平”的选举方法研究(3)

华北水利水电学院毕业论文

解决方法：

定义：设总人数为

si?ninm?[ninn，总席位数为

m，第

i个部门的人数为

?si[qi]ni,令

m]?qi?[qi]，称其为对第i个部门的绝对不公平值。令ri，称其为对第

i个部门的相对不公平值，或称为相对尾数

下面我们就把相对尾数法的核心内容介绍一下：

(1) 对于两个部门设r1,r2全不为零，可以做以下的公平分配 当r1?r2时则将一个席位分给第一个部门，反之则分配给第二个部门

(2) 对于三个部门设r1,r2,r3全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），可以做以下公平分配 1 当r○

1?r2?r3时；按比例取整后，多余的席位分配给小数部分较大的部门（比例加惯例

的方法）。 2 当r○

1?r2?r3时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个

席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部门较大的部门。 3 当r○

1?r2?r3时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分

较大的部门，若多余两个席位，则分配给第一部门和第二部门。 4 当r○

1?r2?r3时；按比例取整后，若多余一个席位，则分配给第一个部门，若多余两个

席位，则分配给第一个部门和第二个部门。 例如： 单位 A B C 人数 235 333 432 占总人数比例(%) 23.5 33.3 43.2 分10个席位 ? ? ? 按比例计算席位数后取整得q1=2，q2=3，q3=4还余一个席位

235r1?1000?10??235??10?1000???2?0.175

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333

r2?1000?10??333??10?1000???3?0.11

432r3?1000?10??432??10?1000???4?0.08

3，3，4

r1?r2?r3所以分给第一组即分配结果为

1.5 席位分配的0-1规划法

设共有m方参加席位分配，第j方的人数为a(j=1,2,…,m)。记a??jmaj又设共有N个

j?1名额可供分配，第j方所分配的席位是xj（j=1,2,…,m）显然N我们给出此方法的核心部分

我们引入检验数wj?1?2qjnj??xj且xj为整数。

（与此等价的wj?1?2qjpj）j=1,2,…,m，其中nj为按比例

m计算后得出的应得的席位数，而qj解法步骤：

(1) 任给一组基础可行解Y0。

?[nj],r?N??q

jj?1?(y1,y2,...,ym)其中

r个基变量取值为1,m-r个非基变量取值为

根据第j方人口比例pj(也可以是人口数)和总名额N计算qj和nj

qj?[Naja]

nj?Npj

(2) 确定进基变量和出基变量。计算检验数wj的值，如果所有基变量对应的wj的值均小于非基变量所对应的wj的值。则此初始可行解便是最优解，否则基变量对应的wj的值最大的变量出基，而非基变量对应的wj的值最小的变量进基，直到所有的基变量的检验数小于非基变量的检验数为止。此时所得解就是最优解。 (3) 当总名额增加一席位时，回到第一步。 例如：我们仍以上面的例子为例来进行举例运算

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单位 A B C 人数 235 333 432 占人数比例(%) 2.35 3.33 4.32 分10个席位 2.35 3.33 4.32 分15个席位 3.525 4.995 6.48 现在先算10个席位的

q1?2 ，q2?3，q3?4 r=1

(1) 给一组基础可行解Y=(1,0,0)其中1个基变量是取值为1,2个基变量是取值为0 (2) 由图表中已运算的数据我们就可以知道n1w1?1?2q1n11?2q2n21?2q3n3?1?2?22.351?2?33.331?2?44.32?2.35，n2

?3.33，n3?4.32

?2.12766w2???2.102102

w3???2.083333

基变量是w1不小于非基变量所以将w1的对应的变量出基w3对应的基变量进基。 Y=(0,0,1)此时已达到了基变量小于非基变量的检验数。所以最终的分配结果是2，3，5 现在来分配15个席位

q1?3，q2?4，q3?6 r=2

(1) 给出一组基础可行解Y=(1,0,1)其中2个基变量取值为1，1个非基变量取值为0 (2) 由图表中可以得到n1

w1??3.525，n2?4.9951?2?33.5251?2?44.9951?2?66.48，n3?6.48

1?2q1n11?2q2n21?2q3n3??1.985816

w2???1.801802

w3???2.006173

在基变量中w3的值对应的变量出基w2对应的变量进基。所以最后的分配结果是4，5，6

1.6 席位分配的最大熵法

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1.6.1 熵的定义

设随机试验A只有有限个不相容的结果

p(A1)?P1,p(A2)?P2A1,

A2,…

An，其中相应的概率为

,…p(An)?Pn，每次作一次试验总能使n个结果之一发生，具体不确

定，熵就是对这不确定性的一种度量 定义为

nH(p1,p2,...,pn)???pilnpii?1

1.6.2 最大熵法的介绍

最大熵原理指其状态的概率分布，应在表征这个系统状态的约束条件下，熵最大的那种分布。

(1) 席位分配 设n个席位分配给m方，设

mAi(i=1,2,…,m) 人数为Si个，总人数为

?SiSnS??i?1Si。若Ai方分配人数为ni，最公平合理的方法是按比例分配即ni，但ni可能

是小数，下面我们用最大熵法建模 (2) 建模 对

pi?niSAi?来说，有

Si?niSni个人去充当代表，还有

Si?ni个人未转移出去，若记

,qi,则pi可看作由Ai转移出去的概率，而qi看成子转移概率。其概率分布的

熵定义为：

mmH???(pilnpi?qilnqi)???(i?1i?1niSlnniS?Si?niSlnSi?niS)……………(1)

m约束条件：?i?1ni?n

用拉格朗日乘子法球H极值

m

L?H??(?ni?n)i?1

1S?nilniSS1

?L?ni??1SlnniS?1S??S??

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?1SlnSi?nini?SiS???0

加上约束条件解得ni?L?ni?1Slnn。这正是按比例分配的结果。说明用定义熵还是比较合理的。

?1Sln(Sini?1)

Si?nini增加

?L?ni?L?ni大的一方。对H增大有利。即席位分配给

Sini大的一方。但若用此方法有点弊端，

增加

大的一方对H增加最多，只是相对局部来说。即?ni比较小的情况。现每次增加

?L?ni?ni=1显然增加大的一方不能保证H增加最多。

若Ai增加1席位整个系统H增加?Hi

?Hi?niS1SlnniS?Si?niSlnSi?niS?ni?1Slnni?1S?Si?ni?1SSi(?nilnSi?ni?1S)lS?ni

1)in?ln(?i

?[nilnni?nilnS?(Si?n)lnSi(?in?)in?(1n?)

(S1)ln

??(Si?ni?1)lnS(i?ni?1)?Si(?ni1S[nilnni?(Si?ni)lnS(i?ni?)n(?i?1 )Sl1)nlin?(?1S)i?(ni?1Si)?ln i(?1)]令?Hi'?S?Hi?nilnni?(Si?ni)ln(Si?ni)?(ni?1)ln(ni?1)?(Si?ni?1)ln(Si?ni?1)

很显然增加?Hi'最大的一方对应的H有利。以此作为分配准则。 具体步骤：

(1) 按比例分配计算

mni?SiSn但

ni取其整数部分，即

ni?[SiSn](i=1,2,…,m),计算

?n?n??i?1n（若?n?0转(4)否则转(2)） i(2) 计算?Hi'（i=1,2,…,m） (3) 比较?Hi'的大小。?H?Hi'转(3)

j'?max?H'此时ni1?i?mj?nj?1,?n??n?1若?n?0转(4)否则计算

(4) 分配完毕。

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