毕业论文“公平”的选举方法研究(2)

研究意义 ................................................................................................................. 22 参 考 文 献 ........................................................................................................... 23 附录 ......................................................................................................................... 24 Inter Programming .................................................................................... 24 整数规划 ........................................................................................................... 30 程序 ................................................................................................................... 33

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引言

近几十年来数学的应用不仅在它的传统领域—工程技术，经济建设—发挥着越来越重要的作用，并且不断的向一些新的领域渗透，在人们不断开拓和创新的利用数学的同时便产生了许多交叉的学科—计量经济学、人口控制论、生物数学、地质数学等等。在数学的应用领域沿拓的过程中，数学自身也在不断的发展并影响着人们的思维方式。 随着科学技术的发展，数学的应用日益广泛。同时人们越来越多的利用数学的一些知识和方法求解现实生活中存在的问题，使现实生活中的问题变成有理可依、有数学数据可算的数学问题。从而在现代社会为之诞生了数学建模这一学科，数学建模这个词汇也更多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。人们利用这个学科把数学的知识灵活的运用在工厂、气象、生理医学、药物分析等方面，从而使数学在我们这个社会中占据着举足轻重的位置。

本篇文章就是来研究一下在数学建模里曾经被研究过多次的公平席位分配的问题。公平席位分配这个问题现在也越来越多的为人们所关注，在现实生活中像国家元首的选举、一些部门领导的选举、及人大代表的名额分配，甚至一些物资的分配等等都在运用着各种席位分配的方法。在此我们来共同的研究一下公平选举的方法。我对一些方法的定义进行再现，如Q值法、D’Hondt法、席位分配的相对尾数法、席位分配的最大概率法、席位分配的最大熵法、席位分配的0-1规划法等等。我会对各种方法进行举例说明，在文章中的第二章中我对最大概率法和相对尾数法的关系进行了证明，并在最后一章中运用最小二乘法来进行各种方法的比较说明。

我在文章中只是进行研究，但我并不能肯定的说哪种方法是公平的，在生活中大家都追求着公平，但是公平是相对的并不是每个人都能得到公平的结果。

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第1章 席位分配的几种方法

1.1 Q值法

首先定义

Qi?pi2pi代表第i个单位人数，ni代表了第i个部门按比例所得的席位数的取整部分

ni(ni?1)，比较每个Q的值，然后将一个席位分给最大的Q那个值所对应的部门。

ii这便是Q值法 。

1.2 D’Hondt法

在这里我们用Ai来表示单位的人数，将A1、A2、A3??Am个单位的人数用1，2，3??正整数相除，将所得的商从大到小排列。若委员会总数为K，则取前面K个商，并将各单位被选取的最小商的除数作为这个单位被分配的名额。其原理是某单位人数较多，应占较多委员席位。以上描述便是d’Hondt法

1.3 席位分配的最大概率法

设有p个席位分给m方，第i方的人数为ai(i=1,2…m,),记amm??i?1ai，第i方所分配的

席位为xi（i=1,2…,m），显然，?xi?p。假定分配是随机分配，任何一个席位分配给

i?1每个人的可能性大小完全一样，都是，则第i方所分配的席位xi（i=1,2…,m）是一个随

pa机变量,随机变量xi的概率分布列为

p{xi?k}?CaCa?aikp?kiCa?p（k=0,1,2…,min(p,ai)）

方应分配到

pa显然，xi服从超几何分布，数学期望E(xi)paai（i=1,2,…,m）,即第iai

个席位，这正是按比例分配的思想，这说明用概率论的方法研究席位公平分配的问题是合理的，而我们一般认为公平是指每个人得到席位的可能性大小都是一样的，当然这种想法太完美了，实际并不能达到这样。

随机变量X=(x1，x2，…，

xm)的每个值都对应一个事件，这个事件的概率为

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m p?Ca1Ca2?Cami2mxxx??i?1CaiixCapCap

在一次试验中，概率最大的事件发生的可能性最大，因此，用最大概率作为准则是合理的。据此可以建立席位分配问题的数学模型

?x?Caii??maxp?i?1pCa??m?s.t?ix?p?i?1????xi为整数m

那么我们就简短的介绍一下这个方法的核心部分： 只需比较

ai?1xi?1的大小即可，

ai?1xi?1a大的pi就大，增加的一个席位分配给i?1xi?1大的一方。

据此，算法如下：

(1) 初始化：参与席位分配的人数向量

A?(a1,a2,?am)；

(2) 用按比例计算的方法算出每个单位应分得的席位，然后取整得出{x1,x2,...xm}的值其中

mxi代表席位数，r?p??i?1xi表示还剩下r个席位需要分配；

aj?1xj?1(3) 计算

(a?1a?1a1?1a2?1,,?,m),比较ix1?1x2?1xm?1xi?1的值，若最大者为，则将一个席位分给第

j方，此时r(4) 若r??r?1，xj?xj?1

?0；

0，则转(3)；若r，则计算完毕。

我们还以上面已经利用的例子来进行运算 单位 A B C 人数 235 333 432 占总人数比例(%) 23.5 33.3 43.2 分15个席位 ? ? ? (1) 我们先取整，从而给3个单位先分配一部分席位，x1=3,x2=4,x3=6还有2个席位没有

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分配

(2) 由方法知我们要找

ai?1xi?1中的最大值，其中xi代表的是各单位现有的席位数，ai代表的

235?1333?1432?1,,}中的最大值即{59，3?14?16?1是各单位所有的人数，先分第1个席位现在取{66.8，61.857143}中的最大值，显然这个席位应分给第2个数所对应的B单位。这时的席位分配情况是3，5，6。

(3) 现在来分配最后1个席位取{235?1333?1432?1,,}3?15?16?1中的最大，即{59，55.66667，

61.857143}中最大的一个，那么应该分配给C单位，则分配结果是3，5，7。

1.4 席位分配的相对尾数法

为了满足Young的公理中以下两条理想化原则我们通过定义相对尾数，提出了满足上述两个理想化原则的一个合理而简单的分配方案------相对尾数法，对两个部门的情况和三个及以上的情况给出了详细的叙述，并通过实例说明其可行性。 以下为两条原则：

(1) 每个部门分配的名额都是取按比例的向下取整或向上取整。 (2) 总名额的增加不会使得某个部门的名额减少。 下面我们就具体的阐述席位分配的相对尾数法： 设有k个部门，每个部门的人数分别为ni,i配的席位为

qi?nin?1,2,...k.总人数n?n1?n2???nkk，待分，记)，当

m,理想化的席位分配结果为

k,。显然，若)qi(i?1,2,?,k)pi（i=1,2,…,k）,满足

m??i?1pim(i?1,2?,全为整数时，应有

pi?qi(i?1,2,...kqi(i?1,2,...k)不全为整数时，需要确定同时满足下列公理的公平分配方案：

[qi]??pi?[qi]?(i?1,2,...k公理1.

[x]表示x),即pi取[qi]?或[qi]?，其中[x]?=[x]，[x]??[x]?1，

的整数部分。

pi(m?1,n1,n2,...,nk)公理2.pi(m,n1,n2,...,nk)?的席位数不会减少。

,

i?1,2,...k,即总席位增加时，各个部门

公理1显然满足Young公理的公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理的公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）

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