全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，求证： A,F,E,B四点共线，AC?CE，AC?BD。?ACF??BDE。BD?DF，AE?BF，

思路：从结论?ACF??BDE入手，全等条件只有AC?BD；由AE?BF两边同时减去EF得到AF?BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF?DE，也可以是?A??B。

由条件AC?CE，BD?DF可得?ACE??BDF?90，再加上AE?BF，AC?BD，可以证明?ACE??BDF，从而得到?A??B。

证明?AC?CE，BD?DF

???ACE??BDF?90? 在Rt?ACE与Rt?BDF中 ?AE?BF ??AC?BD?∴Rt?ACE?Rt?BDF(HL)

??A??B ?AE?BF

?AE?EF?BF?EF，即AF?BE 在?ACF与?BDE中 ?AF?BE????A??B ?AC?BD???ACF??BDE(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2.

如图，在?ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD?BE，垂足为D。求证：?2??1??C。

思路：直接证明?2??1??C比较困难，我们可以间接证明，即找到??，证明?2???且????1??C。也可以看成将?2“转移”到??。

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那么??在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

证明：延长AD交BC于F 在?ABD与?FBD中 ??ABD??FBD? ??BD?BD????ADB??FDB?90??ABD??FBD(ASA ??2??DFB

又??DFB??1??C ??2??1??C。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在?ABC中，AB?BC，?ABC?90?。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE?BF，连接AE,EF和CF。求证：AE?CF。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的?ABE绕点B顺时针旋转90到?CBF的位置，而线段CF正好是?CBF的边，故只要证明它们全等即可。

证明：??ABC?90?，F为AB延长线上一点

???ABC??CBF?90? 在?ABE与?CBF中 ?AB?BC????ABC??CBF ?BE?BF???ABE??CBF(SAS) ?AE?CF。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB?CD。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

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?AB//CD，AD//BC ??1??2，?3??4 在?ABC与?CDA中 ??1??2???AC?CA ??4??3???ABC??CDA(ASA) ?AB?CD。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，AP,CP分别是?ABC外角?MAC和?NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为?MBN的平分线。

思路：要证明“BP为?MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是?MAC和?NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

证明：过P作PD?BM于D，PE?AC于E，PF?BN于F

?AP平分?MAC，PD?BM于D，PE?AC于E ?PD?PE

?CP平分?NCA，PE?AC于E，PF?BN于F ?PE?PF

?PD?PE，PE?PF

?PD?PF

?PD?PF，且PD?BM于D，PF?BN于F ?BP为?MBN的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D是?ABC的边BC上的点，且CD?AB，?ADB??BAD，AE是?ABD的中线。求证：

AC?2AE。

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思路：要证明“AC?2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF?AE。

证明：延长AE至点F，使EF?AE，连接DF

在?ABE与?FDE中 ?AE?FE????AEB??FED ?BE?DE???ABE??FDE(SAS) ??B??EDF

??ADF??ADB??EDF，?ADC??BAD??B 又??ADB??BAD ??ADF??ADC

?AB?DF，AB?CD ?DF?DC

在?ADF与?ADC中 ?AD?AD????ADF??ADC ?DF?DC???ADF??ADC(SAS) ?AF?AC 又?AF?2AE ?AC?2AE。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在?ABC中，AB?AC，?1??2，P为AD上任意一点。求证：AB?AC?PB?PC。

原图 法一图 法二图

思路：欲证AB?AC?PB?PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，

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故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB?AC。而构造AB?AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：

在AB上截取AN?AC，连接PN 在?APN与?APC中 ?AN?AC????1??2 ?AP?AP???APN??APC(SAS) ?PN?PC

?在?BPN中，PB?PN?BN

?PB?PC?AB?AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM?AB，连接PM 在?ABP与?AMP中 ?AB?AM????1??2 ?AP?AP???ABP??AMP(SAS) ?PB?PM

?在?PCM中，CM?PM?PC ?AB?AC?PB?PC。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等

B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等

B. AB?4，BC?3，?A?30

?D. ?C?90，AB?6

?2. 根据下列条件，能画出唯一?ABC的是( ) A. AB?3，BC?4，CA?8

??C. ?C?60，?B?45，AB?4

3. 如图，已知?1??2，AC?AD，增加下列条件：①AB?AE；②BC?ED；③?C??D；④?B??E。其中能使?ABC??AED的条件有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

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