高等数学一串讲讲义(7)

（12年10月全国考题） 设函数 f（x）可导，且

证明：由

故

故

又f（0）=0，所以c=0， 所以

（12年7月全国考题）

设函数，则导数_____.

解析:首先计算函数的导数：

将

代入上式得：.

（12年7月全国考题）

设函数

解析：

计算定积分

（12年4月全国考题）

下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是 （ ）

A.

B.

C.

D.

解析：在积分区间[-1,1]上只有D项的被积函数

是连续的，另外三项的被积函数在积

分区间上都不连续，所以只有D项可以直接使用牛顿-莱布尼茨公式计算. （12年4月全国考题）

导数=______.

解析：

（12年1月全国考题） 已知函数f（x）连续，若

=

，则=_________.

解析：

（12年1月全国考题）

计算定积分I=

解析：

（11年10月全国考题）

定积分___________.

解析：

（11年10月全国考题）

求极限

解析：

（11年10月全国考题）

计算定积分.

解析：

令

四、反常积分

1.反常积分的类型：

2.反常积分 当p≤1时，发散；

的敛散性：

当p>1时， 收敛，其值为 （12年7月全国考题） 如果无穷极限反常积分 A.p＜-1 B.-1≤p＜0 C.0＜p≤1 D.p＞1

收敛，则p的取值范围（ ）。

解析：积分收敛的条件是：q>1，因此本题应该是：p<﹣1。选A.

（12年4月全国考题）

计算无穷限反常积分

解析：

（12年1月全国考题）

无穷限反常积分=_________.

答案：

（11年10月全国考题）

下列无穷限反常积分发散的是（ ）

解析：

所以选B

五、定积分的应用 1.平面图形的面积

收敛：

（1）

（2）

（3）

（4）

注意：要恰当地选择积分变量.一般选择的变量要使图形尽量不要分块，且被积函数较容易求出原函数. 2.旋转体的体积

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