一阶倒立摆控制系统设计

倒立摆课程设计报告

课程设计说明书

课程名称： 控制系统课程设计 设计题目：一阶倒立摆控制器设计 院 系： 信息与电气工程学院 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

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倒立摆课程设计报告

课程设计（论文）任务书

专 业 学 生 题 目 子 题 设计时间 自动化 班 级 指导教师 一阶倒立摆课程设计 2013年 2 月 25 日 至 2013 年 3 月 8 日 共 2 周 设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容。 1．建立一阶倒立摆数学模型 2．做模型仿真试验 （1）给出Matlab仿真程序。 （2）给出仿真结果和响应曲线。 3．倒立摆系统的PID控制算法设计 设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒 （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度 设计要求 并作PID控制算法的MATLAB仿真 4．倒立摆系统的最优控制算法设计 用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）摆杆角度?和小车位移x的稳定时间小于5秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）?的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 0902101 指导教师签字： 系（教研室）主任签字：

2013年 3月 5日

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目录

一、 建立一阶倒立摆数学模型 ............................................................................................. 4

1. 一阶倒立摆的微分方程模型 ...................................................................................... 4 2. 一阶倒立摆的传递函数模型 ...................................................................................... 6 3. 一阶倒立摆的状态空间模型 ...................................................................................... 7 二、 一阶倒立摆matlab仿真 ................................................................................................ 9 三、 倒立摆系统的PID控制算法设计 .............................................................................. 13 四、倒立摆系统的最优控制算法设计 ................................................................................. 23 五、 总结 ............................................................................................... 错误！未定义书签。 六、 参考文献 ....................................................................................................................... 29

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一、建立一阶倒立摆数学模型

首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后， 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量

F 加在小车上的力 x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

1. 一阶倒立摆的微分方程模型

对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

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图 1-2 小车及摆杆受力图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（1-1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（1-2）

即：

把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

（1-4）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

（1-3）

（1-5）

即：

（1-6）

力矩平衡方程如下：

（1-7）

由于面有负号。

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所以等式前

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