近似熵应用(4)

上海工程技术大学毕业设计（论文） 谐波小波与近似熵相结合的噪声分析

它在时间尺度上是被拉申或压缩的结果，而位置会沿着时间轴运动k个新尺度单位1/2j。

可以证明谐波小波是构成一个正交系。 设w（t）伸缩平移得到函数族为v(t)，即

V(t)＝w（2jt－k） （j，k∈Z）

2Л 4Л 0 8Л 0 16Л 0 32Л 0

图2.3 不同层谐波小波的频谱

则v(t)的傅立叶变换为：

V(ω)＝∫v(t)e-jωtdt＝∫w（2jt－k）e-jωtdt

令p＝2jt－k，则t＝（p＋k）/2jdt,于是

V(ω)＝1/2je-jωt W（ω/2j）

说明随着小波层（即j）的变换，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低，如图2.3所示.

对于谐波小波w（t）及其伸缩族w（2jt－k）（j，k∈Z），计算它们的内积：

=∫w(t)w（2jt－k）dt

且由于傅立叶变换是L2不变的，得

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= =∫w(ω)V（ω）d ω

当j不为零，W(ω) ,V(ω)在频域中总处于不同的频段，因而总有

=＝0

说明处于不同层的谐波小波总是正交的。

对于处于同层得谐波小波如w（t），w（t－k），其中（k属于整数且不为零），

=∫w(ω)w（ω）e-jωtd ω

＝∫1/4Л2e-jωt d ω＝0

说明处于第零层得谐波小波也是正交得。对于其他层，以上结论可以类似得到。因而，以谐波小波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相互独立的空间，实现将信号成分分解到不同频段。在诊断故障信号过程中通过谐波小波分解，可以使得故障信息从强烈的信号背景中分离出来，有利于故障信号特征的提取。从频谱图可以看出，谐波小波对信号的分析频宽从高频到低频是以1/ 2 关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解。

谐波小波变换的信号f（t）的小波分解可以表示为

f(t)??ajk?(2jt?k)

???以上小波分解表达式要求信号f(t)满足如下假定:

f(t)??ajk?(2jt?k)

???① f(t)为实函数:②aj,k为实数;③对每一对(j,k)，小波Ψ(2jt一k)具有

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唯一性。

对于谐波小波的每一对 (j,k)对应着两个小波，即偶小波 Ψ1(2jt一k)和奇小波Ψo(2jt一k)。由于谐波小波Ψ(2jt一k)是由二者组合而成的复小波，因此小波系数aj,k也将为复数。这样，信号的谐波小波分解将有所不同。一般可以定义谐波小波复系数对为:

ajk＝2i?f（t）? (2t一k)dt，aj,k＝2i?f（t）Ψ(2jt一k)dt

?j

~需要指出的是，当f (t)为实信号时，aj,k?aj,k并不是一个新系数，(即aj,k的复共扼)，aj,k并不是一个新系数，但考虑到f (t)为复函数时，二者是不同的，所以加以区分。因此，信号的谐波小波分解将表示为：

f（t） ＝??[ajkΨ（2t-k）+aj,k?(2jt一k)]

j

~?~??~?????一般，振动信号经过Fourier分解求得Fourier复系数，用频谱图(频率幅值图)可以直观清晰地显示其结果。类似地，振动信号经过谐波小波变换来求得小波复系数，可以用小波时频图来直观表示。下面以实例来说明谐波小波在分析振动信号时频方面的能力:[图2.4中所示的波形为周期信号：

x=sin(2*pi*50*t)

程序见附5]

其中，取时间间隔t为0.001即说明采样频率为1000Hz；该信号产生的是主要频率为50Hz和300Hz的信号。比较加入白噪声r后的信号所显示的波形如图2.5，直观上并不能马上看出信号x＋r与信号x的明显区别，如果按上述谐波小波定义求其相应的时频图，如图2.6中未加入噪声后周期信号时频图与图2.7中加入噪声后周期信号时频图所示，则立刻能够明显看出这两个信号的时频图之间的差异，换句话而言，一般将复杂的信号

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经过谐波小波分析，以得出所要需的明显效果。由此可见谐波小波可以很好地用来分析复杂的信号。

图2.4 周期信号 图2.5 加入噪声后周期信号

图2.6 未加入噪声后周期信号时频图 图2.7 加入噪声后周期信号时频图

从上面模拟仿真实验中可以看出谐波小波时频分析能力，下面所引用的是一个利用谐波小波实现数字滤波的实例[6]来看一下谐波小波在实际工程中的运用。对一在实际转子振动信号(工作转速为4800 转/分)进行谐波小波滤波分析, 图2.8初始化该信号的频谱图。从频谱中可以看出来: 此信号包含的主要频率分量为: 30、80、160Hz。虽然从理论上讲, 谐波小波在频域为严格的盒形谱特性。但在工程实际应用中, 由于要处理的信号一般都为通过采样得到的离散的一系列时间序列, 故对其进行小波变换时, 小波数也只能取其一系列离散函数点。因此其频谱为近似的盒形, 如图2.9中谐波小波的频谱图所示。利用谐波小波滤波可得到任何一个频率段的信号。图2.10中滤波后得到的信号波形图为通过谐波小波滤波得到该信号中处于频率段140～ 180Hz 信号的时域波形图。其频谱图如图

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2.11中滤波后得到的信号频谱图所示, 从频谱图中可看到, 经过谐波小波滤波后基本上滤掉了原来很强的基频信号。

图2.8 实际信号频谱图 图2.9 谐波小波的频谱图

图2.10 滤波后得到的信号波形图 图2.11 滤波后得到的信号频谱图

2.2 复小波变换及其构造的基本原理

复小波变换的基本原理是构造新的复小波的基础，而复小波变换的基本算法和方法与实小波完全一样，所用小波的变换程序都一样，只需将实小波的实值滤波参数改为复小波的复值滤波参数。因此，要构造新的复小波，首先要研究复小波变换的基本原理，而实小波变换的基本原理是构造复小波的基础。复小波变换主要包括两方面内容：连续小波变换，离散小波变换。

连续小波变换的基本原理：连续小波变换WF(a,b)或WF(s,x)从信号中提取的主要成分主要由展缩小波Ψa,b(X)或Ψi（X）及其傅立叶变换Ψa,b(ω)或Ψi(ω)在时域和频域的波形确定；通过改变尺度因子a或S

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