近似熵应用(3)

上海工程技术大学毕业设计（论文） 谐波小波与近似熵相结合的噪声分析

后通频及各频带的信号近似熵比维修后6MW相应的近似熵都有所增大, 这说明振动信号中又出现非平稳的成分。这主要是由于没有对轴瓦松动故障进行彻底维修造成的。当时虽然用小波分析法准确地找到故障原因, 但开机期限非常紧迫, 来不及吊出转子, 连夜抢修时只增加了轴瓦预紧力和改善左右垫铁支撑, 没有调整下瓦垫铁间隙, 轴瓦松动故障没有得到彻底根除, 机组“带病”运行。由于高频不稳定性是松动故障的典型特征, 所以在负荷 增大时各频带内的近似熵都有所增大。

因此,从这个实例中，通过比较机械设备不同运行期间频带内的时域波形的近似熵的变化, 可以有效地监测故障的发生和发展; 通过对机械设备同一运行期间不同频带近似熵的比较, 可以确定故障的特征频带。高频不稳定性是松动故障的典型特征。通过近似熵在敏感频带内的变化可以有效提取出松动故障特征。

由上述实例可以看出, 近似熵的计算实际上是在确定一个时间序列在模式上的自相似程度有多大,从另外一个角度讲,就是在衡量当维数变化时该时间序列中产生新模式的概率的大小，产生新模式的概率越大, 序列就越复杂。因此从理论上讲, 近似熵能够表征信号的不规则性(复杂性) , 越复杂的信号近似熵应该越大。近似熵只是希望从统计的角度来区别时间过程的复杂性, 而不企图描述或重建奇异吸引子的全貌, 因此只用较短的数据就可以估计出合理的近似熵。近似熵大致相当于维数变化时新模式出现的对数条件概率的均值, 在衡量时间序列的复杂性方面具有一般意义, 而不仅仅是一个非线性动力学参数, 因此近似熵的估计对随机过程和确定性过程都适用。同时, 当噪声的幅度低于相似容限r 时, 该噪声将被抑制, 若时间序列中存在较大的瞬时状态的干扰时, 干扰产生的数据(即所谓的‘野点’)与相邻数据组成的矢量与X (i)的距离必定很大, 因而在阈值检测中将被去除, 因此, 近似熵具有很好的抗噪、抗干扰能力。

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以下为近似熵的实用快速算法：

近似熵的计算可以按照上面定义的步骤去进行, 然而其中有很多的冗余计算, 降低了计算效率,不利于实时运用。Pincus根据实践，建议取m=2，r=0.1～0.2STD［STD是原始数据u(i),i=1～N的标准差(Standard deviation)］，并给出了一种实用快速算法, 可将计算速度提高到定义算法的5倍左右, 其算法如下所示：

第一步: 对N 点序列, 先计算N ×N 的距离矩阵D ,D 的第i行第j 列元素记为d ij，其定义为节点i，j之间的距离。

d ij＝βu（i）－u（j）β

d ij＝βu（i）－u（j）β≧r i＝1～N, j=1～N, i不等于j

其在matlab中是通过D=abs(signal*ones(1,N)-ones(N,1)*signal');

与S=zeros(N,N);S(find(D<=r_factor*std(signal)))=1;来实现的，即计算 两个矩阵。

第二步: 利用矩阵D 中的元素, 可以方便地计算得到Ci2(r)和Ci3(r)（假设m=2）。

Ci2(r)=∑d ij∩d (i-1)(j-1) j=1...N-2

Ci2(r)=∑dij∩d(i-1)(j-1) ∩d(i-1)(j-2) j=1...N-2

其在matlab中是通过Cmr_ij=S(k,1:N-1).*S(k+1,2:N); % (*)

与Nm_i=sum(Cmr_ij);Cmr_i=Nm_i/(N-(m-1));来实现的，即计算统计d［X(i),X(j)］小于r的数目及此数目与距离总数N-m的比值，即Cmi(r) 第三步：由Ci2(r)和Ci3(r)分别计算φm (r)和φ

m+1

(r)。

在matlab中可以通过以下四句话Cmr=[Cmr; Cmr_i]

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和Cmr_ij(end)=[];Cmr_ij_1=Cmr_ij.*S(k+2,3:N) 和Nm_i_1=sum(Cmr_ij_1)和Cmr_i_1=Nm_i_1/(N-m) 以及Cmr_1=[Cmr_1;Cmr_i_1]来实现计算φm (r)和φ第四步：

ApEn(m,r)= φm (r)-φ

m+1

m+1

(r)

(r)

在matlab中通过phi_m=mean(log(Cmr));phi_m_1=mean(log(Cmr_1))来实现

此功能。对照一下近似熵算法的步骤和近似熵实用快速算法的步骤，可以看出近似熵实用快速算法与近似熵算法最主要的不同点在于近似熵快速算法将近似熵定义算法中的第一步骤构造矢量的过程给省略了, 同时近似熵快速算法不再分别计算模式维数m = 2 或模式维数m = 3 时各矢量之间的距离而用以求解时间序列中各数据点的差值替代, 即避免了相同维数的矢量之间距离的重复计算,也减少了维数变化时的计算距离过程中的不必要计算, 从而提高了运算效果, 对于工程而言具有极强的实用价值。

下面还是以实例来说明快速近似熵在度量信号复杂性方面的能力,在图1.2中所示为周期信号：

x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t)

其中，取时间间隔t为0.001即说明采样频率为1000Hz；该信号产生的是主要频率为50Hz和300Hz的信号。又图1.2中为信号中加入白噪声r后的波形，直观上可以看出信号x＋r比信号x要复杂的多，按上述快速算法求其相应的近似熵分别为 0.8511和0.2079，前者几乎是后者的3倍多，即越复杂的信号近似熵越大, 从而表明近似熵可以很好地用来显示信号的复杂性。[

程序见附录3]

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图1.2 周期信号的波形与周期信号叠加白噪声的波形

2 谐波小波与复morlet小波的定义及性质

2.1 谐波小波的定义

小波是满足允许条件的函数，如果一个小波具有完全“盒形”的频谱将是非常理想的。从这一考虑出发，设有实偶数Wo(t),它们的傅利叶变换分别为[3]

We（ω）=1/4*Л 当 2*Л≦|ω|≦4*Л

或者

We（ω）=0 当|ω|为其它时

Wo（ω）=i/4*Л 当 －4*Л≦ω<2*Л

或者

Wo（ω）=－i/4*Л 当 2*Л≦ω<4*Л

或者

Wo（ω）=0 当 ω为其它时

其中i＝（-1）1/2如下图2.1[2]所示：

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图2.1 We（ω）, Wo（ω）及W（ω）图示

则对W（ω）＝We（ω）＋iWo（ω）有

W（ω）＝1/2*Л 当2*Л≦ω≦4*Л

或者

W（ω）＝0 当ω为其它时

如图F W（ω）所对应的函数 W（ω）＝We（ω）＋iWo（ω）由W（ω）的傅立叶逆变换得

W（ω）＝{exp(i4Лt)-exp(i2Лt)}/ i2Лt

称上式定义得函数为谐波小波（harmonic wavelet），它是复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱。其实部与虚部如图2.2中所示：

[程序见附录4]

图2.2 谐波小波的实部与虚部波形图

根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族（j，k∈Z）:

W(2jt-k)={exp(i4Л(2jt-k))- exp(i2Л(2jt-k))}/ i2Л(2jt-k)

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