高数第四版第七章（人民大学出版社）(7)

解：c??a ? b?c?c?(?a ? b)?(?a ? b)?c设

2??2a?2?(a?b)?b222

f(?)??2a?2?(a?b)?b22，则由

f?(?)?2?a?2(a?b)?0

????a?ba2（唯一驻点），∴

c最小的向量 c??a?ba2a?b，

∵ c?a?(?a?ba2a?b)?a??a?b?b?a?0?c?a，

a?b411a?b?{ , ? , } 2333a当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c2最小的向量 c??★★9．将xoy坐标面上的双曲线4x?9y2?36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方

程。

知识点：旋转曲面及其方程

解：当xoy坐标面上的双曲线4x2?9y2?36绕x轴旋转时旋转曲面方程为：

4x2?9(?y2?z2)2?36?4x2?9y2?9z2?36。

x2?z2)2?9y2?36?4x2?4z2?9y2?36

绕y轴旋转时旋转曲面方程为：4(?★★★10．求直线L：

x?1yz?1??绕z轴旋转所得旋转曲面方程。 121x?1yz?1??上的某一点121知识点：求旋转曲面方程的原理

解：设所求旋转曲面上的动点坐标为(x,y,z)，且它是由直线L：

(x0,y0,z0)绕z轴旋转得到，所以，(x,y,z)和 (x0,y0,z0)满足：

（1）z22?y0?x2?y2?z0；（2）x0，

将

x0?1y0z0?12222??代入（2）可得：x?y?z?4(z?1) 121?z?2?x2?y2★★11．求曲线L:?在三个坐标面上的投影曲线方程。

22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x2?y2解：（1）方程组?消去z，

22?z?(x?1)?(y?1)?x2?y2?x?y?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（2）方程组???22z?(x?1)?(y?1)??z?2?x?y消去x

?2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

x?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（3）方程组???22z?(x?1)?(y?1)??z?2?x?y消去y

?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

y?0??6x?6y?z?16?0★★12．求曲线L:?在三个坐标面上的投影方程。

2x?5y?2z?3?0?解：（1）方程组??6x?6y?z?16?0消去z，

?2x?5y?2z?3?0?2x?y?5?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0?（2）方程组??6x?6y?z?16?0消去x

?2x?5y?2z?3?0?3y?z?1?0

x?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?（3）方程组??6x?6y?z?16?0消去y

?2x?5y?2z?3?0?6x?z?14?0

y?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?★★★13．求螺旋线

x?acos? , y?asin? , z?b?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

解：（1）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去z，可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程：

?x2?y2?a2 ∵x,y总是满足：x?y?a∴投影方程为?

z?0?222 （2）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去x，可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程：

z?z?y?asin222 ∵x?acos ，代入x?y?a，∴投影方程为?b

b??x?0 （3）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去y，可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程：

z?z?x?acos222 ∵y?asin ，代入x?y?a，∴投影方程为?b

b??y?0★★★14．求由上半球面

z?a2?x2?y2，柱面x2?y2?ax?0及平面z?0所围成的立体在

xoy面和xoz面上的投影。

解：（1）上半球面z?a2?x2?y2含在柱面x2 ?y2?ax?0内的立体在xoy面上的投影就是：

?x2?y2?ax?0 ?z?0?（2）当投影到xoz面上，该立体投影的边界为xoz面上的：x2?z2?a2,(x?0,z?0)，

?x2?z2?a2,(x?0,z?0) ∴立体在xoz面上的投影为：?

y?0?★★★15．求与已知平面2x?y?2z?5?0平行且与三坐标面构成的四面体体积为1的平面方程。

知识点：平面及其方程

解：所求平面?和2x?y?2z?5?0平行，所以设?的方程为2x?y?2z?D，化为截距式方

程：

xyz???1， D/2DD/2D1D?D??1?D??233 ∵?与三坐标面构成的四面体体积为1，∴?622∴?：2x?y?2z?233?0

?2x?3y?z?5?0垂直的平面方程。

?3x?y?2z?4?0★★★16．求通过点(1, 2 , ?1)且与直线?思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢 解：设直线L??2x?3y?z?5?0的方向矢s，所求平面?的法矢n，

3x?y?2z?4?0?ijks?2?31?5i?7j?11k，∵??L，∴取n?s?5i?7j?11k

31?2∴?：5(x?1)?7(y?2)?11(z?1)?0?5x?7y?11z?8

?2x?y?2z?1?0★★17．求过直线L:?且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程。

x?y?4z?2?0?思路：所求平面?过直线L，而L又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示? 解：过已知直线L的平面束方程：2x?y?2z?1??(x?y?4z?2)?0

此方程化为：(2??)x?(??1)y?(4??2)z?2??1，

?1?4??2???1 3 其中在y轴和z轴有相同的非零截距的平面应满足：? 代入得所求平面?：7x?2y?2z?1?0

★★★18．在平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所确定的平面束内，求两个相互

A(4,?3 , 1)。

垂直的平面，其中一个平面经过

解：过?将

?2x?y?3z?2?0的平面束方程：2x?y?3z?2??(5x?5y?4z?3)?0，

?5x?5y?4z?3?0A(4,?3 , 1)代入：4?4??0????1

A(4,?3 , 1)的平面?1：3x?4y?z?1?0

?0????1 3∴经过

平面束中和?1垂直的?2应满足：3(2?5?)?4(1?5?)?(3?4?)∴?2：x?2y?5z?3?0

★★19．用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1。

?2x?y?z?4知识点：直线三种方程形式之间的转换 解：设直线L：??x?y?z?1的方向矢为s，平面?1x?y?z?1的法矢n1，平面

2x?y?z?4??22x?y?z?4的法矢n2

i∵sjk?n1 , s?n2 ∴s?n1?n2?1?11??2i?j?3k，

211xy?3/2z?5/2??， ?213再取L上的一点(0, 3/2, 5/2)，得L的对称式方程：

L的参数方程：x??2t, y?★★★★20．求与两直线L135?t, z??3t 22?x?3z?1和L2:??y?2z?3?y?2x?5垂直且相交的直线方程。 :??z?7x?2方法一：所求直线L（公垂线）应该既在过L、L1的平面上，又在过L、L2的平面上，所以L是两平

面的交线。

i解：L1的方向矢：s1?1jk0?3?3i?2j?k， 01?2ijkL2的方向矢：s2?2?10?i?2j?7k，

70?1i公垂线L的方向矢sjk?321?12i?20j?4k?4{3,?5,1} 127过L1的平面束方程：x?3z?1??1(y?2z?3)其中垂直于L的平面应满足：3?5?1得到过L1、L的平面?1：x?3z过L2的平面束方程：2x??0?x??1y?(2?1?3)z?3?1?1?0，

?(2?1?3)?0??1?0，

?1?0

y?5??2(7x?z?2)?0?(7?2?2)x?y??2z?2?1?5?0

?2)?5??2?0??2??11 20其中垂直于L的平面应满足：3(7?2得到过L2、L的平面?1：37x?20y?11z?122?0

x?3z?1?0?∴L：?

37x?20y?11z?122?0?方法二：所求直线L?L1, L?L2，因此可求得L的方向矢，再求L、L2（或L、L1）的交点就可

求出L的对称式方程或参数式方程

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