面只有一个：x?2y?z?7?0，此平面设为?1，确有：?1??，?1即为过直线L且垂直于?的平面∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?3z?8?0
?x?2y?z?7?0★★★14．证明直线
x?1y?1z?3x?1y?2z?3????与直线相交，并求它们交角的平分381473线方程。
知识点：直线及其方程 证：将直线L1：
直线L2 （题有问题？）
x?1y?1z?3??化为参数式：x?3t?1,y?8t?1,z?t?3，代入 381习题7-8
1． 画出下列方程所表示的曲面：
zx2y2?（1）4x?y?z?4； （2）x?y?4z?4； （3）?349222222。
z
o y
x 图7-8-1-1 y
x
z图7-8-1-2
z yo x 图7-8-1-3
★★2．指出下列方程所表示的曲线：
?x2?y2?z2?25?x2?4y2?9z2?36（1）?； （2）?；
x?3y?1???x2?4y2?z2?25?y2?z2?4x?8?0（3）?； （4）?。
x??3y?4??22答：（1）x?3平面上的圆y2?z2?16；（2）y?1平面上的椭圆x?9z?32；
（3）x??3平面上的双曲线z2?4y2?16；（4）y?4平面上的抛物线z2?4x?24?0
★★★3．画出下列各曲面所围成的立体的图形：
（1）x?0, y?0, z?0, x?2, y?1, 3x?4y?2z?12?0；
z z y y x
图7-8-3-1 x 图7-8-3-1 （2）xy?0, z?0, x?1, y?2, z?
4z y x （3） z图7-8-3-2
?0, z?3, x?y?0, x?3y?0 , x2?y2?1，在第一卦限内。
y x 图7-8-3-3
（4） x
0 ?0, y?0,z?0, x2?y2?R2,y2?z2?R2，在第一卦限内。
z xy
x 图7-8-3-4 总习题七
★★★1．已知a , b , c为单位向量，且满足a ? b? c?0，计算a?b ? b?c? c?a。
知识点：向量的数量积
解：∵a ? b? c?0，∴(a ? b? c)?a?0?b?a ? c?a??a同理可得：a?b ? c?b2??1 （1）
??b??1 （2）
22b?c ? a?c??c??1 （3）
（a , b , c为单位向量）
∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加?a?b ? b?c? c?a??3 2★★★2．设三角形的三边
BC?a , CA?b , AB?c，三边中点依次为D、E、F
，试证明
AD ? BE? CF?0
知识点：向量及其线性运算
1BC, AC??CA??b 2111?AD ??b?a，同理可得：BE ??c?b , CF ??a?c ；
2223∴AD ? BE? CF??(a?b?c)，∵a?b??c
2证明：根据向量线性运算的三角形法则，AD ? DC? AC, DC?∴
AD ? BE? CF?0
?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)，求(a,b)。
?★★★3．设(a ?3 b)知识点：向量的数量积及其性质
解：∵(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)
∴(a ?3 b)?(7a ?5 b)?0?7a ?16 a?b ?15 b?0；
2222(a ?4 b)?(7a ?2 b)?0?7a ?30 a?b ?8 b?0
??12a?b1?22 b? a?b ? b, a? b?cos(a,b)???(a,b)?∴ 46 a?b ?232 a b232?。
★★★4．已知
a?2 , b?5 , (a,b)?2?3，问：系数?为何值时，向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直
知识点：向量的数量积及其性质
解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直，必须
m?n?0?(?a ?17 b)?(3a ? b)?0?3?a?(51??)a?b?17b?0，
?2?由已知条件a?2 , b?5 , (a,b)??a?b?abcos(a,b)??5，
3?22∴3?a2?(51??)a?b?17b?12??5(51??)?17?25?0???40
2★★★5．求与向量a?{2,?1 , 2}共线且满足方程a?x??18的向量x。
知识点：向量的线性运算以及向量的数量积
解：根据已知条件：x与a共线，可设x??a??{2,?1 ,2}，
由a?x??18?a??a??a??18????2?x?{?4, 2,?4}
2★★★6．设a?{?1 , 3,2}，b?{2, ?3 , ?4}，c?{?3, 12 , 6}，证明三向量a , b , c共面，并用a 和 b 表示 c
知识点：向量的混合积
解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零
i∵a ? b ?j3k2??6i?3k?(a ? b)?c?6?3?3?6?0
?12?3?4∴a , b , c共面 若设c?x1a?x2b?{?3,12,6}?{?x1?2x2, 3x1?3x2, 2x1?4x2}，
??x1?2x2??3, 3x1?3x2?12, 2x1?4x2?6?x1?5,x2?1
∴c?5a?b
★★★7．证明点
M0(x0,y0,z0)到一通过点
A(a,b,c)、方向平行于向量s的直线的距离为
d?r?ss，其中r?AM0。
证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量s的起点放在A(a,b,c)，设此时s的终点坐标为M1，d即为?M0AM1底边AM1（即s）上的高，根据习题7-7的11题的结论：d???a ? b，?是实数，证明：c最小的向量 c。
AM0?ss
★★★8．已知向量a , b 非零，且不共线，作c最小的向量 c垂直于a ，
并求当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值
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