高数第四版第七章（人民大学出版社）(2)

图7-3-6 F2 F1?2 x2 x1 ?1 o

知识点：向量积的物理应用

解：P1处F1作用产生的力矩M1?OP2处F2作用产生的力矩M2?OP1?F1，P2?F2，要使杠

杆平衡，只要

★★7．设aM1?M2?x1F1sin?1?x2F2sin?2

?2i?3j?k , b?i?j?3k , c?i?2j，求

（1）(a?b)c?(a?c)b； （2）(a?b)?(b?c)； （3）(a?b)?c

知识点：向量运算的坐标表示

解（1）(a?b)c?(a?c)b?8c?8b?{0 , ?8, ?24}

i （2）(ajk?b)?(b?c)?{3,?4, 4}?{2,?3, 3}?3?44??j?k

2?33ijk （3）(a?b)?c?(2?31)?c?{?8, ?5, 1}?{1,?2, 0}?2

1?13★★★8．直线L通过点A(?2,1,3)和B(0,?1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离。

知识点：向量积

思路：在A,B,C为顶点组成的三角形中，AB边上的高即为所求距离。 解：设所求的距离值为h，?????1????AB?ACAB?3，又根据向量积的性质：S?ABC2

iAB?AC?212?S?ABC?j4k7

?2?1??10i?26j?32k?AB?AC?30211AB?AC??3h?h?10222★★★★9．试证向量

ab?baa?b表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。

思路：按题意，只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。 解：设c?ab?baba?aab?abaa?cb?a????, ，Prjac?aa(a?b)a(a?b)a?ba?ba?b而Prjbc?bb?aab?bbab?cb?a?????Prjac bb(a?b)b(a?b)a?ba?b?ka?(1?k)b , (k?ba?b)∴c和a、b在同一平面上，

又c?ab?baa?b∴c表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向

★★10．设m?2a?b , n?ka?b，其中a?1 , b?2，且a?b。

?n？

知识点：向量的数量积、向量积及其性质

（1）k为何值时，m解：m?n?m?n?0，由m?n?0?(2a?b )?(ka?b)?2k?(2?k)a?b?4?0

∵a?b，∴a?b?0?k??2

（2）k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6。

解：m与n为邻边的平行四边形面积S?m?n?(2a?b )?(ka?b)?(2?k)a?b

∵a?b，∴a?b?ab?2?S?22?k?6?k??1或k?5

★★★11．设a,b,c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a?b与c共线，c?b与a共线，试

证

a?b?c?0。

证明：∵a?b与c共线，c?b与a共线，∴可设?1(a?b)?c, c?b??2a ,(?1?0,?2?0)

代入可推得?(?2零向量，可得：

??1)a?(1??1)b，又∵其中任意两个向量不共线，则由a,b不共线且为非

?2??1?1??1?0??2??1??1?a?b?c?0

★★★12．试证向量a??i?3j?2k , b?2i?3j?4k , c??3i?12j?6k在同一平面上，并沿

a和b分解c。

知识点：向量的混合积及其几何意义

解：根据向量混合积的几何意义：a,b,c共面?(a?b)?c?0，

?1又(a?b)?c326?2?3?4??30?3?0?2?15?0，∴a,b,c共面

?312设c=?1a??2b，将a,b,c代入?2?2??1??3, 3(?1??2)?12, 2?1?4?2?6

??1?5, ?2?1? c?5a?b

★★★13．设点

A,B,C的向径分别为r1?2i?4j?k , r2?3i?7j?5k , r3?4i?10j?9k，

试证：

A,B,C三点在一直线上。

思路：只要证：向量AB和AC平行

???????????证明：AB?OB?OA?{3,7,5}?{2,4,1}?{1,3,4}；

???????????AC?OC?OA?{4,10,9}?{2,4,1}?{2,6,8} ????????????????∵AC?2AB?AB//AC

★★★14．已知a?{a1,a2,a3} , b?{b1,b2,b3} , c?{c1,c2,c3}，试利用行列式的性质证明：

(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b

a1证明：(a?b)?c?b1a2b2c2a3b3c3， (b?c)?ab1?c1a1b2c2a2b3c3a3，

c1b1而行列式

b2c2a2b3c3a3是行列式

a1b1c1a2b2c2a3b3c3交换两次两行得到，

c1a1∴(a?b)?c∴(a?b)?c?(b?c)?a。同理可证：(b?c)?a?(c?a)?b， ?(b?c)?a?(c?a)?b

★★★15．试用向量证明不等式：

222a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3222222。

思路：a1?a2?a3可看作向量a?{a1,a2,a3}的模；

b1?b2?b3222是向量b?{b1,b2,b3}的模，而a1b1?a2b2?a3b3是a?b的值。

a1?a2?a3,b?b1?b2?b3222222证明：设a?{a1,a2,a3}，b?{b1,b2,b3}，则a?

∵a?b即：

?abcos(a?b)?ab?a?b

222222?a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3

内容概要 主要内容（7-4，7-5，7-8） 曲面及其方程 柱面 （2） 常见旋转曲面 xoz面上曲线yoz面上曲线旋转曲面 xoy面上曲线f(x,y)?0绕x轴旋转的旋转曲面方程：f(x,?y2?z2?0 f(y,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 f(x,z)?0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f(?x2?y2,z)?0 2（1） 圆锥面：z?a2(x2?y2)（yoz面上曲线z?y绕z轴旋转而成） x2z2面上的曲线2?2?1绕aczx2?y2z2?2?1（zox旋转单叶双曲面：a2c轴旋转而成） ?f(x,y)?0f(x,y)?0表示准线为：?母线平行于z轴的柱面 z?0??f(y,z)?0f(y,z)?0表示准线为：?母线平行于x轴的柱面 x?0??f(x,z)?0f(x,z)?0表示准线为：?母线平行于y轴的柱面 ?y?0柱面方程特点：缺少某个变量 常见柱面 （1）抛物柱面：y2?ax?b表示母线平行于z轴的抛物柱面 x2z2（2）椭圆柱面：2?2?1表示母线平行于y轴的椭圆柱面 aby2z2（3）双曲柱面：2?2?1表示母线平行于x轴的双曲柱面 ab 二次曲面 空间曲线椭球面、抛物面、双曲面 L的一般方程 L的参数方程 ?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0x??(t) , y??(t) , z??(t) 及其方程 L在坐标面上的投影 消去L方程中的变量z得到的H(x,y)?0即为L在xoy面上的投影柱面， ?H(x,y)?0就是L在xoy面上的投影曲线（以此类推） ??z?0习题7-4

★1．求以点O(1,?2, 2)为球心，且通过坐标原点的球面方程。

知识点：空间两点的距离

解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，则根据两点距离公式：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?R2，

∵原点在球面上，∴R?12?(?2)2?22?3,∴球面方程：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?9。

★2．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设动点的坐标为（x,y,z），则根据等距离的条件：

(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2

∴动点的轨迹方程为：4x?4y?10z?63?0

★3．方程

x2?y2?z2?2x?4y?4z?7?0表示什么曲面？

解：方程可化为：(x?1)2?(y?2)2?(z?2)2?16∴该方程表达的是以(1,?2, 2)为球心、半径

为4的球面。

★★4．将xoz坐标面上的抛物线

z2?5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

知识点：旋转曲面

解：∵xoz坐标面上的抛物线z?5x是绕x轴旋转

∴旋转曲面方程为(?2y2?z2)2?5x?y2?z2?5x

★★5．将xoz坐标面上的抛物线

2x2?z2?9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。

2解：∵xoz坐标面上的抛物线x?z?9是绕z轴旋转

∴旋转曲面方程为(?x2?y2)2?z2?9?x2?y2?z2?9。

★★6．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

（1）x?0； （2）y?x?1； （3）x2?y2?4； （4）x2?y2?1

答：（1）x?0在平面解析几何中表示y轴，在空间解析几何中表示yoz坐标面

（2）y影为

?x?1在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴，在xoy坐标面上投

y?x?1的一个平面。

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