数学培优班题典五年级(7)

专题十二 长方体、正方体的体积

知识对对碰

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 (1)长方体体积=长×宽×高

V长方体?abc

(2)正方体体积=棱长×棱长×棱长

V正方体?a3

2.求不规则物体的体积

如果我们碰到不规则的物体要求体积，只要用一个长方体的水箱，把不规则的物体完全浸没在水中，水箱中水上升的体积就是这个不规则物体的体积，从而解决立体图形有关问题中的体积转化。 解这类题的基本公式：

水中物体的体积=容器的底面积×水上升或下降的高度 水上升或下降的高度=水中物体的体积÷容器的底面积 容器的底面积=水中物体的体积÷水上升或下降的高度

（本节中提到容积时，容器的各边长与面积均指容器内部测量数据）

名题典中典

例1(★)一只长方体包装箱，从里面量长60厘米，宽50厘米，高40厘米，内装300个药瓶（包装箱正好装满），平均每个药瓶占箱子多少立方厘米的容积？

例2(★)一个正方体油箱里面装满了油，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，这个长方体油箱中油深多少分米？

例3(★)在一只长为40厘米，宽为25厘米，水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块（完全浸没），水可上升到多少厘米？

例4(★)一个底面是正方形的长方体木箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形，求这个木箱的体积。

例5(★)有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？

例6(★)一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？

例7(★)某工厂要做150个棱长为0.8米的无盖正方体硬纸箱，那么，做这些纸箱至少要用多少平方米的硬纸？这些纸箱容积和是多少立方米？

例8(★)如图12 -1，有一个棱长为3厘米的正方体，在正方体的上底面向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0．5厘米的小洞，再在小洞中向下挖一个棱长为0. 25厘米的小洞，求此时这个物体的体积。

例9(★)在长为16厘米，宽15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。如果把石头取出来又放人一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。

例10(★★)一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？

魔法训练营

1．在桌面上摆放着一些完全一样的正方体积木，摆完后从前面看为图12 -2(1)，从左面看为 图12 -2(2)。要摆出这个样子最多要用多少块积木？最少需要多少块积木？

2．一个长方体的正面和上面的面积之和是209平方厘米。这个长方体的长、宽、高都是整数厘米，且都是质数。这个长方体的表面积和体积各是多少呢？

3．一个长方体水箱内装满水，现有大、中、小三个钢球，第一次把小球沉入水箱中，第二次取出小球把中球沉入水箱中，第三次取出中球把小球和大球一起沉入水箱中，如果每次从水箱中溢出的水量情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问大、中、小钢球的体积比是多少。

4．如图12 -3，一个正方体，日、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点，现在沿三角形GFH所在的面锯掉一个角。问锯掉的体积是整个正方体体积的几分之几。

5．青青小朋友用棱长1厘米的小正方体摆成如图12 -4的形体，请帮他算出这个形体的表面积和体积。

6．有一棱长为20的大正方体，在它的每个角上各作一个小正方体，这样得到8个小正方体。在这些正方体中，上面四个的棱长为12，下面四个的棱长为13，求所有这8个小正方体公共部分的体积是多少？ 7．一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米？ 8．图12 -5是一辆汽车模型纸平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸。将该图剪下折叠粘合（相同字母标记处粘合在一起），作成汽车模型的体积为V。请回答：①403

9．如图12 -6，长方体的一个面上挖去了一个小长方体，剩下部分的体积是多少？（单位：厘米）。

10.如图12 -7，A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在要把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高。这时B处比原来升高多少米？

11.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。求原长方体的体积是多少。

12.一个长方体的长、宽、高的比是4:3:3，然后把这个长方体的长、宽、高都扩大为原来的相同的倍数后，体积比原来增加了7倍，棱长总和比原来多100厘米，这个长方体扩大后的体积是多少立方厘米？ 13.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米且现在是空的，乙缸长4分米，宽2分米，里面水深1.5分米。现把乙缸中的水倒人甲缸，水在甲缸中深多少分米？

14.有大、中、小三个池口都是正方形的长方体水池。它们的池口边长分别为6分米、3分米、2分米。现在把两堆碎石分别沉人中、小池内，这两个水池的水面分别上升6厘米和4厘米（碎石完全浸没且水没有溢出）。如果把这两堆碎石都沉人大水池内，那么大水池水面将上升多少厘米？（得数保留整数）

专题十三 图形分割与切拼

知识对对碰

1.图形的分割与拼补

把一个图形按照某种条件分成几个图形，就叫做图形的分割。反过来，把几个图形按照一定的条件拼成一个图形，就叫做图形的拼补。研究图形的切拼，不但可以增强对几何图形的直观感和判断能力，丰富对图形的空间想象能力，提高思维能力，而且也有一定的实用价值。因此，我们掌握图形的拼补和分割很有必要。 2.定理

两个面积相等的多边形，可以将其中一个多边形切成有限的块数，拼成另一个多边形。

我们可以将任何一个多边形经过若干次分割后，再将它拼成一个另外的图形。按要求分割图形，要仔细观察图形特征，正确运用切割规律。通常要考虑图形的对称性，并可将图形进行适当的平移和旋转。 3.复杂图形面积的计算

计算一个复杂图形的面积，也要用到图形的分割和重组。图形分割重组的关键是分得合理，分割出来的图形和重新组合的图形一定是基本规则图形才行。

我们把不容易算面积的图形，转换成容易算面积的图形，且两个图形面积相等，数学上叫等积变形。 另外，在分割图形时一定要注意到图形的对称性，同时由于是均分图形，可以考虑通过计算面积来解决。

名题典中典

例1(★)一条长24厘米的绳子作相等的三折后，然后对折，再从中间剪一刀，一共剪成了多少段？每段长多少厘米？

例2(★★)用四种不同方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

例3(★★)桌面上摆着一些相同的正方体木块，从正南方向看如图13 -3(1)，从正西方向看如图13 -3(2)，要摆出这个样子，最多用多少块木块？最少用多少块木块？ 例4 (★★)一个六面都涂满红色的长方体，恰好能切成若干个棱长为1分米的正方体。现切得的正方体中有8个每个面都没有红色，那么，长方体的体积是多少？

例5(★★)将图13 -5切成大小相等，形状相同并且相连的4个部分，然后拼成一个正方形。

例6(★★)将如图13 -7中的图形分成三块形状相同．大小相同的图形。

例7(★★)现有一张5厘米长，1厘米宽的长方形纸片，请将它分成5块，使它能拼成一个正方形。

例8(★★)将图13 -11中的正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好都有1，2，3，4这四个数字。

例9(★★)图13 -15是一个正六边形，过A点在正六边形内引两条直线段，把正六边形分成面积相等的三部分。

例10(★★★)把图13 -18切分成两块，然后拼成一个正方形（每个小正方形的边长为1）。

魔法训练营

1．如图13 -21是一张3 ×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

2．如图13 -22，图中小正方形的边长为l厘米，请用此图形再拼成一正方形。 3．如图13 -23，一个直角梯形，请在它内部画一条直线，把它分成形状、大小部相等的两部分。（单位：厘米）

4．如图13 - 24，一个正三角形形状的土地上有四口水牛，要把这块地分成和它形状相同的四小块，要求每小块的面强相等，并且每一块中都要有一口水井。应该怎样分？

5．如图13 - 25所示，将图形分成大小、形状相同的四块，并且每块带一个★。

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