数学培优班题典五年级(5)

7．如图9 -22在5x5棋盘格中，共有多少个正方形？

8．图9 -23中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

数学家刘徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要的地位。他的杰作《九章算术》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但在此之前因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率是3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

专题十 平面图形的面积

知识对对碰

1.常她图形的面积

(1)三角形面积=底×高÷2

S三角形?ah?2

(2)平行四边形面积=底×高

S平行四边形?ah

(3)梯形面积=（上底+下底）×高÷2

S梯形?(a?b)h?2

(4)长方形面积=长×宽

S长方形?ab

(5)正方形面积=边长

2

S正方形?a2

(6)圆的面积=??半径

2S圆??r2

(7)菱形的面积=两条对角线乘积的一半

1AC?BD 2圆心角度数??r2(8)扇形面积=

360n?r2 S扇形?360S菱形?(9)环形面积=?×（大圆半径-小圆半径）

2

2

S环形???(R2?r2)

2.常用性质

(1)等底等高的三角形面积相等。

(2)高不变，底扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一），三角形面积就扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一）。

(3)底不变，高扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一），三角形面积就扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一）。

(4)高相等的两个三角形的面积比等于它们的底之比，类似地，底相等的两个三角形的面积比等于它们的高之比。

名题典中典

例1(★)正方形ABCD的面积是16平方米(见图10 -1)，E、F分别是AB和BC的中点，求梯形AEFC的 面积是多少。

例2(★)图10 -2是平行四边形，面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2

例3(★)如图10 -3所示，△ABC中，BD=3AD，AE=EC，S△ADE=6cm，求S△ABC。

例4(★)有一个等腰梯形，底角为45上底为8厘米，下底为12厘米，如图10 -4所示，求这个梯形的 面积是多少平方厘米。

例5(★)如图10 -5，在正方形ABCD中，△ABE的面积是8平方厘米，它是△DEC面积的

?4，求正方形ABCD5的面积。

例6(★★)如图10-6所示，四边形ABCD和四边形EFDG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

例7(★★)如图10 -7(1)矩形被分成A、B、C、D四个小矩形。已知A的面积是2平方厘米，日的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米，问原矩形的面积是多少。

例8(★★)如图10-8所示，在边长为8厘米的一个正方形内，以正方形的三条边为直径向正方形内作三个半圆。求阴影部分的面积。

例9(★★)如图10 -9，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。，(?取3）

例10(★★)一条正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有两道彩条，其他部分为白色，如图10 - 10(1)所示，彩条宽都是2厘米，问这条手帕白色部分的面积是多少平方厘米。

例11(★★)将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连接，如图10 -11(1)，求阴影部分的面积。

魔法训练营

1．如图10-12，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。(?取3.14）

2．如图10 -13，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米，求阴影部分的面积。

3．如图10 - 14，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米，求CE的长。 4．如图10-15，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。求长方形的长、宽各是多少。

5．如图10 - 16，?ABCD的底边长BC=10，直角三角形BCE的直角边长EC=8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10。求CF的长。

6．已知正方形ABCD的边长为10厘米，过这个正方形的四个顶点可作一个大圆，过它的各边中点可作一个小网，此时再将正方形的对边中点用直线连接起来，得到网10-17，那么图中阴影部分面积是多少？ 7．如图10-18，A，B是两个扇形的圆心，那么两个阴影部分的面积差是多少？

8．如图10 -19，在一个直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形上作三个半圆，求阴影部分的面积。

9．将正面是红色，背面是白色的纸剪成一个直角三角形ABC（如图10 - 20）盖在桌面上，然后将A向上折叠使A与C重合，这时红色部分的面积为5.25平方分米，盖住桌面的面积比原来减少了9. 375平方分米，BD =4.8分米，问折痕的长度是多少分米。

1O.用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图10 -21所示拼成一个直角三角形。问红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

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