北京市西城区2012届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案(3)

14分

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：数列A3:4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；

2,0,2；?．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ??????

2分

数列A4:1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ?????

?3分

（Ⅱ）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．??????4分

若a1?a2?a3，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ?????

5分

当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，

则A3为常数列”．

当a1?a2?a3时，数列T(A3):a1?a2,a2?a3,a1?a3．

由数列T(A3)为常数列得a1?a2?a2?a3?a1?a3，解得a1?a2?a3，从而数列A3也 为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，

它变换之前的数列也为常数列，可知数列列． ??????8分

所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1?a2?a3．

（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列T(An)的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n?3”．

证明：记数列An中最大项为max(An)，则0?ai?max(An)．

A3也为常数

令Bn?T(An)，bi?ap?aq，其中ap?aq． 因为aq?0， 所以bi?ap?max(An)，

故max(Bn)?max(An)，证毕． ??????

9分

现将数列A4分为两类．

第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此

时由引理可知，max(B4)?max(A4)?1．

第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)?max(A4)． 下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a?0)．（其它情形同理） ① 当数列A4中只有一项为0时，

b,|bc?|,c若A4:0,a,b,c(a?b,a?c,bc?0)，则T(A4):a,a?，此数列各项均不

为0

或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若

A4:0,a,a,b(a?b,b?0)，则T(4A)?:a,a0；b,bT(T(A4)):a,a?b,|a?2b|,a?b

此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

b,ab?,b若A4:0,a,b,a(a?b,b?0)，则T(A4):a,a?，此数列各项均不为0，为

第一 类数列；

,0,0,若A4:0,a,a,a，则T(A4):aaT(T(A4)):a,0,a,0；T(T(T(A4))):a,a,a,a，；

此数列各项均不为0，为第一类数列．

② 当数列A4中有两项为0时，若A4:0,a,0,b(a?b?0)，则T(A4):a,a,b,b，此数列

各项均不为0，为第一类数列；

若A4:0,a,b,0(a?b?0)，则T(A):a,a?b,b,0，T(T(A)):b,|a?2b|,b,a，此数列

各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③ 当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0,a,0,0，则T(A):a,a,0,0，

T(T(A)):0,a,0,a，T(T(T(A))):a,a,a,a，此数列各项均不为0，为第一类数列．

总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经

历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从

而

结

束． ??????13分

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