北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.54； 10.?160； 11.1； 12.2； 13.?1和0，(0,4]； 14.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：原式可化为 sinB?sin(A?B)?sin(A?B)?2cosAsinB． ??????3分
因为B?(0,π)， 所以 sinB?0， 所以 cosA?1232，2(1?2).
． ??????
5分
因为A?(0,π)， 所以 A?π3． ??????
6分
????????????????????222（Ⅱ）解：由余弦定理，得 |BC|?|AB|?|AC|?2|AB||AC|?cosA．??????
8分
????????????????????因为 |BC|?7，AB?AC?|AB||AC|?cosA?20，
????????22所以 |AB|?|AC|?89． ??????
10分
????????????????????????222因为 |AB?AC|?|AB|?|AC|?2AB?AC?129， ??????
12分
????????所以 |AB?AC|?129． ??????
13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1分
记“甲以4比1获胜”为事件A，
34?3则P(A)?C3()()412． ??????
111222?18． ??????4
分
（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.
35?3 因为，乙以4比2获胜的概率为P1?C3()()5111222?532， ??????
6分
乙以4比3获胜的概率为P2?C6()()2231316?312?532， ??????
7分
所以 P(B)?P1?P2?8分
（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．
1414P(X?4)?2C4()?， ??????
28516． ??????
9分
? P(X?5)3131?43124C()()?22214， ??????
10分
? P(X?6)3131?52125C()(?)?2225165， ??????
11分
? P(X?7)3131?63126C()(?)?22216． ??????
12分
比赛局数的分布列为：
X P 4 5 1418 6 516 7 516 ??????13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以AC?BD，
且O为AC中点． ??????1分
又 FA?FC，所以 AC?FO． ???3分 因为 FO?BD?O，
所以 AC?平面BDEF． ??????4分
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD//BC，DE//BF， 所
以
平
面
FBC//平面
EAD． ??????7分
又FC?平面FBC， 所
以
FC// 平面
EAD． ??????8分
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO?BD，故FO?平面ABCD．
由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz． ??????9分
设AB?2．因为四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，则BD?2，所以OB?1，
OA?OF?3．
所以 O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3)．
????所以 CF?(3,0,????3)，CB?(3,1,0)．
??????n?CF?0,设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CB?0.所以 ???3x?3z?0, 取x?1，得n?(1,?3,?1)． ??????
3x?y?0．12分
易知平面AFC的法向量为v?(0,1,0)． ??????
13分
由二面角A?FC?B是锐角，得 cos?n,v??n?vnv?155．
所以二面角A?FC?B的余弦值为
14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?ex?(2分
由于f(1)?3e，f?(1)?2e，
1x155． ??????
x?2)，f?(x)?e?(1x?2?1x2)． ??????
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2ex?y?e?0． ??????
4分
ax（Ⅱ）解：f?(x)?ae(x?1)[(a?1)x?1]x2，x?0． ??????6
分
① 当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1．
f(x)的单调递减区间为(??,?1)；单调递增区间为(?1,0)，(0,??)．?????8
分
当a??1时，令f?(x)?0，解得 x??1，或x?1a?1．
1a?1,??)；单调递增区
② 当?1?a?0时，f(x)的单调递减区间为(??,?1)，(间
(0,1a?1为(?，
)． ??????10分
③ 当a?0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间． ??????
11分
④ 当a?0时，f(x)的单调递减区间为(?1,0)，(0,(??,?1)(1a?11a?1)；单调递增区间为
，
,??)． ??????
13分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由 2分
59?e?2a?ba222?1?ba22， 得
ba?23. ??????
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2，故a?3. ??????
4分
所x2以椭圆C的方程是
9?y24?1. ??????5分
（Ⅱ）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立， 消去
22x得
(4m?9)y?16my?20?0. ??????7分
所以 y1?y2?8分 ?16m4m?92，y1y2??204m?92. ??????
若PF平分?APB，则直线PA，PB的倾斜角互补， 所
kPA?kPB?0. ??????9分
以
设P(a,0)，则有
y1x1?a?y2x2?a?0.
将 x1?my1?2，x2?my2?2代入上式， 整理得
2my1y2?(2?a)(y1?y2)(my1?2?a)(my2?2?a)?0，
所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0. ??????
12分
将 y1?y2??16m4m?92，y1y2??204m?92代入上式，
整理得 (?2a?9)?m?0. ??????
13分
由于上式对任意实数m都成立，所以 a?992.
综上，存在定点P(,0)，使PM平分?APB. ??????
2
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