北京市西城区2012届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案

北京市西城区2012年高三一模试卷

数 学（理科） 2012.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项. 1．已知全集U?R，集合A?{x|（A）(0,1)

（C）(??,0]?(1,??)

2．执行如图所示的程序框图，若输入x?2，则输出y的 值为（ ） （A）2 （B）5 （C）11 （D）23

?x?y?0,?3．若实数x，y满足条件?x?y?3?0,则2x?y的最大值为（ ）

?0?x?3,?1x?1}，则eUA?（ ）

（B）(0,1]

（D）(??,0)?[1,??)

（A）9

（B）3 （C）0 （D）?3

34．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为123cm．

其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）

2（A）43cm

2（B）23cm

（C）8cm

2（D）4cm

2

445．已知函数f(x)?sin?x?cos?x的最小正周期是π，那么正数??（ ）

（A）2 （B）1 （C）

12 （D）

14

6．若a?log23，b?log32，c?log46，则下列结论正确的是（ ） （A）b?a?c （C）c?b?a

7．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对?n?N*，有S2n?3Sn，则q的取值范围是（ ） （A）(0,1]

8．已知集合A?{x|x?a0?a1?3?a2?32?a3?33}，其中ak?{0,1,2}(k?0,1,2,3)，且a3?0.则A中所有元素之和等于（ ） （A）3240

（B）3120

（C）2997

（D）2889

（B）(0,2)

（C）[1,2)

（D）(0,2)

（B）a?b?c （D）b?c?a

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，

[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．

10．(x?2)6的展开式中，x3的系数是_____．（用数字作答）

11. 如图，AC为⊙O的直径，OB?AC，弦BN交AC

BC于点M．若OC?

12. 在极坐标系中，极点到直线l:?sin(??

π4)?2的距离是_____．

MONA3，OM?1，则MN?_____．

?0?x?c,?x2,13. 已知函数f(x)?? 其中c?0．那么f(x)的零点是_____；若

2??x?x,?2?x?0,f(x)的

1值域是[?

14,2]，则c的取值范围是_____．

B 分别在射线y?14. 在直角坐标系xOy中，动点A，

33x(x?0)和y??3x(x?0)上

运

动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为_____；△OAB周长的最小值是

_____．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

在△ABC中，已知sin(A?B)?sinB?sin(A?B)． （Ⅰ）求角A；

????????????（Ⅱ）若|BC|?7，AB?AC?20，求|AB?AC|．

16.（本小题满分13分）

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；

（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.

17．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ?DAB??DBF?60?，且FA?FC． （Ⅰ）求证：AC?平面BDEF；

E（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A?FC?B的余弦值．

DFC

18.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?eaxAB?(ax?a?1)，其中a??1.

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为

53，定点M(2,0)，椭圆短轴的端

点是B1，B2，且MB1?MB2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，

使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

对于数列An:a1,a2,?,an(ai?N,i?1,2,?,n)，定义“T变换”：T将数列An变换成数

列Bn:b1,b2,?,bn，其中bi?|ai?ai?1|(i?1,2,?,n?1)，且bn?|an?a1|，这种“T变换”记作Bn?T(An).继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，?，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

（Ⅰ）试问A3:4,2,8和A4:1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写

出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：A4:a1,a2,a3,a4一定能经过有限次“T变换”后结束．

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