2015中考数学压轴题汇编及答案(6)

19．（2015?临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值． 【解答】解：

（1）联立两直线解析式可得，解得，

∴B点坐标为（﹣1，1），又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1），∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，

2

∴A点坐标为（0，﹣1），设抛物线解析式为y=ax+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得

2

，解得，

∴抛物线解析式为y=x﹣x﹣1；

（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，

∵直线BC解析式为y=﹣x，∴直线PQ解析式为y=x， 联立抛物线解析式可得

，解得

或

，

∴P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：

如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E， 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC?PD=BC?PD，

∵线段BC长固定不变，

∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大，

∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，

2

∴P点坐标为（t，t﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），

22

∴PE=﹣t﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+1，

∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线PQ的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．

第26页（共27页）

20．（2015?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

2

（2）先求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设E（m，m﹣4），然后分三种情况讨论即可求得； （3）利用△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD即可求得．

2

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴

，解得

2

，

∴该二次函数的解析式为y=x﹣x﹣4； （2）由二次函数y=x﹣x﹣4可知对称轴x=3，

∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y=x﹣x﹣4可知B（0，﹣4），

2

2

设直线BC的解析式为y=kx+b，∴

2

，解得

2

，∴直线BC的解析式为y=x﹣4，

2

2

设E（m，m﹣4），当DC=CE时，EC=（m﹣8）+（m﹣4）=CD， 即（m﹣8）+（m﹣4）=5，解得m1=8﹣2

2

2

2

2

2

2

，m2=8+2

2

（舍去），∴E（8﹣2

2

2

2

，﹣）；

当DC=DE时，ED=（m﹣3）+（m﹣4）=CD，即（m﹣3）+（m﹣4）=5，解得m3=0，m4=8（舍去）， ∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，（m﹣8）+（m﹣4）=（m﹣3）+（m﹣4）解得m5=5.5， ∴E（

，﹣）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的

，﹣

）、（0，﹣4）、（

，﹣）．

2

2

2

2

2

点E的坐标为（8﹣2

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为m﹣m﹣4，

∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m﹣m﹣4）]﹣×3×4 =﹣m+∴当m=

2

2

2

m=﹣（m﹣）+

2

，

时，△PBD的最大面积为

，﹣

）．

∴点P的坐标为（

【点评】此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．

第27页（共27页）

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2015中考数学压轴题汇编及答案(6)在线全文阅读。