2015中考数学压轴题汇编及答案(5)

14．（2015?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

222222

（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC=18，PB=（﹣1+3）+t=4+t，PC=（﹣1）222

+（t﹣3）=t﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

2

【解答】解：（1）依题意得：

2

，解之得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得

，解之得：

，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3），

222222222

∴BC=18，PB=（﹣1+3）+t=4+t，PC=（﹣1）+（t﹣3）=t﹣6t+10，

222

①若点B为直角顶点，则BC+PB=PC 22

即：18+4+t=t﹣6t+10解之得：t=﹣2；

222

②若点C为直角顶点，则BC+PC=PB 22

即：18+t﹣6t+10=4+t解之得：t=4，

222

③若点P为直角顶点，则PB+PC=BC

即：4+t+t﹣6t+10=18解之得：t1=

22

，t2=

；

） 或（﹣1，

）．

综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

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15．（2015?凉山州）如图，已知抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值．

（2）求A、B两点的坐标． （3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；

（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；

（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值． 【解答】解：

2

（1）∵抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，

2

∴方程x﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，

2

∴（m+3）﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9， 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，∴m=3；

2

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x﹣6x+9，联立一次函数y=x+3，

2

可得，解得或，

∴A（1，4），B（6，9）；

（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T， ∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），

∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a， ∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP

=

（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15），

又S△PAB=2S△ABC，

∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15， ∴b=15+a，

∵P点在抛物线上，

2

∴b=a﹣6a+9，

∴15+a=a﹣6a+9，解得a=∵﹣3＜a＜1， ∴a=∴b=15+

，

=

．

2

，

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．

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16．（2015?铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；

（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

2

（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x﹣4x+3；

2

（2）令y=0，则x﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3， ∴B（3，0），∴BC=3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，

∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，﹣3）； ③当BP=BC时， ∵OC=OB=3

∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3） 或（0，﹣3）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t+2t=﹣（t﹣1）+1，

即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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2

2

2

2

2

17．（2015?资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x相交于B、C两点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；

2

（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，﹣x+1），则D（x，x），表示出DM，分类讨论列方程求解；

（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形． 【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）， 又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1；

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示， 设M（x，﹣x+1），则D（x，x）， ∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x， 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x|=1，

①当﹣x+1﹣x=1时，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，②当﹣x+1﹣x，=﹣1时，解得，x=所以M（

，

）或M（

22

2

22

2

解之，得，

），

， ，

），

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形， M点坐标为（﹣3，

）或（

，

）或（

，

）；

（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，

2

∵点B（m，n）在抛物线上，∴m=4n， 在Rt△BTF中，BF== =

，

=

∵n＞0，∴BF=n+1，

又∵BR=n+1，∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l， ∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE， ∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS， ∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．

【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．

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18．（2015?苏州）如图，已知二次函数y=x+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为 45° ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；

2222

（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE+PE=CD+PD，得出P点坐标即可； （3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），

2

令y=0，则x+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m， ∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0）， ∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；故答案为：45°； （2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

2

由题意得，抛物线的对称轴为：x=

2

2

2

2

，设点P坐标为：（

2

2

，n），

∵PA=PC，∴PA=PC，即AE+PE=CD+PD， ∴（

+1）+n=（n+m）+（

，

）；

，

2

2

2

2

2

），解得：n=

2

，

∴P点的坐标为：（

（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（∴PA+PC=AE+PE+CD+PD=（

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

）， ）+（

+m）+（

2

+1）+（）=1+m，

22

∵AC=1+m，∴PA+PC=AC，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形， ∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m）， ①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直， 则

=﹣m，解得：m=，PQ=，

2

2

2

若PQ与x轴不垂直，则PQ=PE+EQ=（

2

）+（

2

2

+m）

2

=m﹣2m+=（m﹣）+

2

∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵

，PQ取得最小值，

＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，

=m，解得：m=，PQ=，

2

2

2

②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则若PQ与y轴不垂直，则PQ=PD+DQ=（∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵

22

2

2

）+（m﹣，PQ取得最小值

2

）=m﹣2m+=（m﹣）+，

，

＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，

综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值 求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．

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