三年高考（2016--2017-2018年）数学（理）高考试题分类汇编分项

专题06 导数的几何意义

考纲解读明方向 考点 1.导数的概1.了解导数概念的实际背景 念与几何意2.理解导数的几何意义 义 1.能根据导数定义求函数y=C(C为常2.导数的运算 数),y=x,y=,y=x,y=x,y=23内容解读 要求 常考题型 预测热度 选择题、 Ⅱ 填空题 ★★★ 选择题、 Ⅲ 解答题 的导数 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.

1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.

2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.

3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.

2018年高考全景展示 1.【2018年理新课标I卷】设函数的切线方程为 A. B. C. D. ，若为奇函数，则曲线在点处【答案】D

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得2．【2018年全国卷Ⅲ理】曲线【答案】 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 在点处的切线的斜率为，则________．

【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。 详解：，则，所以，故答案为-3.

点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。 3．【2018年理数全国卷II】曲线【答案】 在点处的切线方程为__________．

【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 详解： 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 4.【2018年理数天津卷】已知函数（I）求函数（II）若曲线在点，，其中a>1.

的单调区间；

处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明

；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线，单调递增区间为.令. 的切线，也是曲线的切线.

【答案】(Ⅰ)单调递减区间【解析】分析：（I）由题意可得间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. ，解得x=0.据此可得函数的单调递减区（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.

（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：，使得l1和l2重合.转化为当.则原时，关于x1

，，则题问题等价于当的方程时，存在，存在实数解，构造函数，令，据此可证得存在实数t，使得结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得中的结论成立. 详解：（I）由已知，令，解得x=0.

， 的变化情况如下表：

0 ，有. 由a>1，可知当x变化时，x 所以函数（II）由的单调递减区间 0 极小值 + ，单调递增区间为在点. . ，可得曲线处的切线斜率为由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以a为底的对数，得（III）曲线在点处的切线l1：，所以. . 曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，

只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得因此，只需证明当设函数，代入②，得时，关于x1的方程③存在实数解.

，即要证明当，可知时，；

. ③

时，函数存在零点.

时，单调递减，又，即，. 上单调递减. ，故，

，

故存在唯一的x0，且x0>0，使得由此可得在在上单调递增，在.因为处取得极大值所以下面证明存在实数t，使得有，因此，当所以，当时，存在，使得. .由（I）可得，当时，

. ，所以存在实数t，使得

时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 5．【2018年理北京卷】设函数=[

]．

（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，（Ⅱ）若）处的切线与轴平行，求a；

在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax–（2a+1）x+2］e=（ax–1）(x–2)e．

若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以f (x)<0在x=2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f ′(x)>0．所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（，+∞）．

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

2017年高考全景展示 1.【2017山东，理20】已知函数f?x??x2?2cosx，g?x??ex?cosx?sinx?2x?2?，其中e?2.71828?是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点??,f????处的切线方程；

2xx（Ⅱ）令h?x??g?x??af?x??a?R?，讨论h?x?的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

【答案】（Ⅰ）y?2?x??2?2.

（Ⅱ）综上所述：当a?0时，h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增，

函数h?x?有极小值，极小值是h?0???2a?1；

当0?a?1时，函数h?x?在???,lna?和?0,lna?和?0,???上单调递增，在?lna,0?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值，

2极大值是h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??

极小值是h?0???2a?1；

当a?1时，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值；

当a?1时，函数h?x?在???,0?和?lna,???上单调递增，

在?0,lna?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值，

极大值是h?0???2a?1；

2极小值是h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??.

试题解析：（Ⅰ）由题意f?????2?2又f??x??2x?2sinx，所以f?????2?，

因此 曲线y?f?x?在点??,f????处的切线方程为y??2?2?2??x???，

??

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