析式；
（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E1F1GH1，设旋转角为α，求cosα的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=8，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤1），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（1＜x≤2），列出方程解得x；
（3）作H1Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H1Q= 3m，又DG=1，H1G=2，利用勾股定理可得m，在Rt△QH1G中，利用三角函数解得cosα． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4， ∴AB=8，
又∵D是AB的中点，
1
∴AD=4，CD=AB=4，
2
又∵EF是△ACD的中位线， ∴EF=DF=2，
在△ACD中，AD=CD，∠A=60°， ∴∠ADC=60°，
在△FGD中，GF=DF?sin60°= 3，
1
∴矩形EFGH的面积S=EF?GF=×2 3= 3；
2
（2）设矩形移动的距离为x，则0＜x≤2，
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当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，如图， 则0＜x≤1，
∴FN=x，∠FNM=∠ADC=60°． ∴FM= 3x
1 3S=x? 3x=x2， 22
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，如图2， 则 1＜x≤2， ∵FN=x，DG=x﹣1
1 3∴重叠部分的面积S=（DG+FN）FG=（x﹣1+x）× 3=（2x﹣1）；
222
1
（3）如图3，作H1Q⊥AB于Q， 设DQ=m，则H1Q= 3m， ∵DG=1，H1G=2， ∴GQ=m+1，
在Rt△H1QG中，根据勾股定理得，H1Q2+GQ2=H1G2， ∴3m2+（m+1）2=4，
13?1
（负的舍去）， 4
13?1 13+3∴QG=1+=
44
解之得m=
∴cosα=
??????1??
= 13+342
13+3=．
8
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【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．
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