证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. ?λ＋2μ＋3v＝0，
∵e1，e2不共线，∴?
?λ＋8μ－3v＝0.
?λ＝－5，易知?μ＝1，
?v＝1，
是其中一组解，
则－5AB＋AC＋AD＝0. ∴A、B、C、D共面．
14．如右图，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心， (1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．
→
→
→
→
→
→
→
解析 (1)证明 CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1， →→→→→
11
可以证明：CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，
33→→
∴CG∥CA1即A1、G、C三点共线．
→→
(2)证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， →→
→
→
→
→→
→
∵CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0， ∴CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD， 因此A1C⊥平面BC1D.
→→
即|CA1|＝3a，
→
→
(3) ∵CA1＝a＋b＋c，∴CA12＝a2＋b2＋c2＝3a2，
→因此|CG|＝
33a.即C到平面BC1D的距离为a. 33
15．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、
BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1)EF的长；
(2)折起后∠EOF的大小．
2
解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），
2
B（22222a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a）， 22244
22
F（a，a,0）.
44
?2?2?232?2?2?232→2
(1)|EF|＝?a－0?＋?a＋a?＋?0－a?＝a，∴|EF|＝a.
24??4?4?4??4
??22?→?22→
(2)OE＝?0，－a，a?，OF＝?a，a，0?，
44?4??4?
?22a22??2?→→
OE·OF＝0×a＋?－a?×?a?＋a×0＝－，
48?4??4?4
→
a→aOE·→OF1→→→|OE|＝，|OF|＝，cos〈OE，OF〉＝＝－，
222
|→OE||→OF|
∴∠EOF＝120°.
16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
→→→→(1)EF·BA； (2)EF·DC；
(3)EG的长； (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值． →→
解析 设AB＝a，AC＝b，AD＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，
→
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， →→
111
(1)EF＝BD＝c－a，
222→→
BA＝－a，DC＝b－c， →→
1??1
(2)EF·BA＝?c－a?·(－a)
2??21211
＝a－a·c＝，
224→→
1
EF·DC＝(c－a)·(b－c)
2
11 ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
24→→→→
111
(3)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b
222111
＝－a＋b＋c，
222
→
111111
|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a
444222→12＝，则|EG|＝. 22→
11
(4)AG＝b＋c，
22→→→
1
CE＝CA＋AE＝－b＋a，
2
→
→
→
→
2＝－，
→→3|AG||CE|
cos〈AG，CE〉＝
AG·CE由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
2
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
3
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