第六章 广义逆矩阵(5)

A#?F(GF)?2G。

证明 由于

A2?FGFG，

其中GF?Cr?r，且F?Crn?r，G?Crr?n，于是

rank(A2)?rank(GF)；

因此，rank(A)?rank(A2)的充分必要条件是GF是非奇异矩阵；

利用6.1节的定义4，可直接验证

A#?F(GF)?2G。

群逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。 定理3设A?Cn?n，且Ind(A)?1，则 （1）(A#)#?A；

（2）(AT)#?(A#)T,(AH)#?(A#)H; （3）(Al)#?(A#)l,l为任意正整数。 6.5.2 Drazin逆

下面定理指出，矩阵A?Cn?n的Drazin逆是唯一存在的，并且它可以表示为矩阵A的多项式。

定理4 设矩阵A?Cn?n，Ind(A)?k，且A的最小多项式为

m(?)?c?k(1??q(?)),

其中，c?0为常数，q(?)为多项式，则A有唯一的Drazin逆AD，它可以表示为关于A的多项式

AD?Ak(q(A))k?1。

证明 唯一性。设X与Y为A的两个Drazin逆。令E?AX?XA，

F?AY?YA，则E与F皆为幂等矩阵。此时，

E?AX?AkXk?AYAkXk?FAX?FE， F?AY?YkAk?YkAkXA?YAE?FE。

因此，E?F，又由于FX?YAX?YE， 所以

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X?EX?FX?YE?YF?Y。

存在性。由m(A)?O可得，

Ak?1q(A)?Ak。

令X?Ak(q(A))k?1，显然其满足AX?XA，并且

XAX?A2k?1(q(A))2k?2?Ak(Ak?1q(A))(q(A))2k?1

?A2k(q(A))2k?1???Ak(q(A))k?1?X， XAk?1?Ak?1X?A2k?1(q(A))k?1?Ak(Ak?1q(A))(q(A))k

?A2k(q(A))k???Ak

因此，利用6.1节定义5，X?Ak(q(A))k?1为A的Drazin逆，即

AD?Ak(q(A))k?1。

Drazin逆有如下简单的若当标准形表示。 定理5 设矩阵A?Cn?n，其若当标准形分解为

?JA?XJX?1?X?1?OO??1X， ?J0?其中J0,J1分别对应特征值为零与特征值非零的若当子块，X?Cn?n为可逆矩阵。则

?J1?1O??1A?X??X。

?OO?D 证明 利用6.1节定义5容易验证此定理结论成立。

Drazin逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。 定理6 设矩阵A?Cn?n，且Ind(A)?k，则 （1）(AT)D?(AD)T,(AH)D?(AD)H; （2）(Al)D?(AD)l,l为任意正整数。 （3）当l?k，则Ind(Al)?1且(Al)#?(AD)l； （4）((AD)D)D?AD，且Ind(AD)?1。

例1 利用若当标准形分解求矩阵A的Drazin逆，其中

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?0?20?5?0?10?2?A??0002??0102???2?21?82?0??0?。 ?0?4??解答 矩阵A的若当标准形为

?J1(1)OO?于是，利用定理5，23

A?X??OJO?X?12(2) ??OOJ?2(0)??

??10000?2100??X?0??00200??X?1

?00001????00000???AD?X?(J1(1))?1OO??O(J?2(2))?1O?X?1??OOO??

??10000??1??02?1400???X??1??00100??X 2??00000???00000????13171??2?22?2??0?10?20?????02040?。

?01020????1?22?1440???

习 题 六

1. 设矩阵A?Cm?n，其除第i行第j列元素为1外，其余元素均为0，求A{1}。 2. 给出下列矩阵的一个最简单的{1}-逆。

?103??231?1??； （2）A??5801?； 230（1）A?????????12?23???111???1?2（3）A???0??102??0?115??； （4）A???01?1???3?1??101012?0??。 1??1?3. 利用满秩分解求下列矩阵的Moore-Penrose逆。

411??2?1??； （2）A??2?；

12?12（1）A?????????3????1?2?21??21??i0??1?； （4）A???1?2?1?。 11（3）A????????21??1??0i??4. 利用奇异值分解求下列矩阵的Moore-Penrose逆。

?10???101???（1）A?01； （2）A???。 ??20?2????10???2x1?4x2?x3?x4?5?5. 利用{1}-逆方法判断线性方程组?x1?2x2?x3?2x4?1是否相容？如果相

??x?2x?2x?x??4234?1容，求其通解。

?2x1?4x2?x3?x4?10?6. 利用Moore-Penrose逆方法判断线性方程组?x1?2x2?x3?2x4?6是否相

??x?2x?2x?x??7234?1容？如果相容求通解和极小范数解；如果不相容求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。

7. 设矩阵A?Cn?n，证明 (A#)#?A。

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8. 设矩阵A?Cn?n是幂零矩阵，证明AD?O。

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