第六章 广义逆矩阵(2)

证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。 （5） 由于

rank(A)?rank(AA(1)A)?rank(AA(1))?rank(A(1))，

所以结论成立。

（6） 由于

(AA(1))2?AA(1)AA(1)?AA(1)， (A(1)A)2?A(1)AA(1)A?A(1)A，

所以，AA(1)与A(1)A都是幂等矩阵。 又由于

rank(A)?rank(AA(1)A)?rank(AA(1))?rank(A)，

所以

rank(A)?rank(AA(1))，

同理

rank(A)?rank(A(1)A)，

因此，结论成立。 6.2.3 ?1?-逆的计算

定理1给出利用等价标准形求?1?-逆的方法。

?0?130??，求A{1}，并具体给出一个A(1)。 2?415例1 已知矩阵A???????457?10??解答 由于

?0?1?2?4???45E3????10O???01??00?00?3170010100?5010???10001??0000? 0000??0000?1000??0?A?E?46

??1??0?0????1??0?0???0???2?现令P???1??3??0100000000?2115?2213000010011?0?2??100??321??，

000???000?000??000???1?0??12??00?，Q??0?021??????0115???22?130?，所以矩阵A的等价标准形为 010??001???1000??，

PAQ??0100????0000??利用定理1可得

???EA{1}??Q?2???B21?B12?2?12?22?1?PB?C,B?C,B?C?； 122122B22????令B12,B21,B22均为零矩阵时，得到一个最简单的{1}-逆如下：

??1?(1)A??0?0???0115????122??0130???0010????0001??000???2??10???100?????300???1??0???22??00????121??0?????01?0?2?00?。 00??00??§6.3 Moore-Penrose广义逆的性质与计算

由于Moore-Penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用，因此本节将介绍Moore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。 6.3.1 Moore-Penrose广义逆的计算

利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆总是存在的，并且给出了利 用奇异值分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。下面给出利用满秩分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。

?n定理1设矩阵A?Cm，其满秩分解为 r7

A?FG，

?r?n其中F?Cm为列满秩矩阵，G?Crrr为行满秩矩阵，则

A??GH(GGH)?1(FHF)?1FH。

证明 因为rankFH(F?)，rank(GGH)?rank(G)?r，所以raFn?k(r?rrFHF?C与GGH?Cr?r皆为可逆矩阵。令

X?GH(GGH)?1(FHF)?1FH，

不难验证X满足Penrose的四个方程，所以

A??GH(GGH)?1(FHF)?1FH。

推论1 设矩阵A?Cm?n，则

（1）若rank(A)?m，则A??AH(AAH)?1； （2）若rank(A)?n，则A??(AHA)?1AH；

?r?n（3）若A有满秩分解A?FG，其中F?Cm为列满秩矩阵，G?Crrr为行满

秩矩阵，则A??G?F?。

?10??，利用矩阵奇异值分解求矩阵A的Moore-Penrose02例1 已知矩阵A??????00??逆A?。

?100??，所以AAH的特征值为??1，??4，??0，040解答 由于AAH??123????000??因此，A的正奇异值为?1?1，?2?2。

特征值?1?1、?2?4、?3?0对应的单位特征向量分别为

?1??0??0??，???1?，???0? ?1??023??????????0???0???1??所以

U???1?2?100??。 ?3???010????001??8

令

?10??， U1??01????00??则

V1?AHU1??H?10??1100????10??10??????01??02???01? 020???00???????令V?V1，则A的奇异值分解为

?100??10?H?10??H????02?A?U??V??010?????01?， O????????00100????于是

?10??1?A????000????0120??100??1?010????0????0???001???0120?。 0????11010??，利用满秩分解求矩阵A的Moore-Penrose01111例2 设矩阵A??????10110??逆A?。

解答 因为矩阵A的满秩分解为

??100?110????010011 A?FG???????101????001??1212121???2?1?， 2?1??2??并且

?1?2?1F?1???2?1???2?9

?1212121?2??1??，G??GH(GGH)?1， 2?1??2??于是

?20?3?3?0?4?1?G??0?4??11?4?3?11???34故

?0??1??4?3??， 4?1??4?1??4??1?3??1?2?1???1A?GF????2?1??6?1???66.3.2 Moore-Penrose广义逆的基本性质

?11?33??11??42?11??。 42?11??126?51???126?利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆是唯一的，因此，它具有与通常逆矩阵相似的性质。下面给出Moore-Penrose广义逆的一些基本性质，其证明可以利用Moore-Penrose广义逆的定义或定理1直接推出。

定理2 设矩阵A?Cm?n，则

（1）(A?)??A；

（2）(AH)??(A?)H，(AT)??(A?)T；

?1?（3）(?A)???+A?，其中?+=????0（4）rank(A?)?rank(A)；

??0?=0，??R；

（5）rank(AA?)?rank(A?A)?rank(A)；

10

（6）(AHA)??A?(AH)?，(AAH)??(AH)?A?；

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