第六章 广义逆矩阵(3)

（7）若U?Cm?m，V?Cn?n均为酉矩阵，则

(UAV)??VHA?UH；

?n?n?（8）若A?Cm，则A?A?En，若A?Cmnm，则AA?Em；

尽管A?与A?1有一些相近的性质，但它毕竟是广义逆矩阵，因此逆矩阵的一些性质对A?并不成立。

例3 举例说明对Moore-Penrose广义逆矩阵A?，下列结论未必正确。 （1）(AB)??B?A?；

（2）(Ak)??(A?)k，其中k为正整数； （3）若P,Q为可逆矩阵，(PAQ)??Q?1A?P?1。

?1?解答 （1）设A??1，，1?B???，则AB?1，因此(AB)??1。

?0?因为rank(A)?1，所以利用推论1的（1）可知

?1??1?1?1?A??AH(AAH)?1???(?1,1???)?1???；

2?1??1??1?因为rank(B)?1，所以利用推论1的（2）可知

?1?B??(BHB)?1BH?(?1,0???)?1?1,0???1,0?；

?0?于是

B?A??1?1?(AB)?， 2可见

(AB)??B?A?。

?1?1?（2）取A???，其满秩分解为 00??A?FG，

?1?其中F???，G??1,?1?。利用推论1可得

?0??1?F??(FHF)?1FH?(?1,0???)?1?1,0???1,0?，

?0?11

?1??1?1?1?G??GH(GGH)?1???(?1,?1???)?1???，

2??1???1???1?于是，由推论1的（3）可得

1?10?， A?GF???2??10????因此，(A2)??A??1?10?1?10??2，而，由此可见 (A)??????10?102?4???(A2)??(A?)2。

?1??11?（3）取A???，P??，Q?1。 ??1??01?由于rank(A)?1，所以

?1?1?1A???AHA?AH?(?1,1???)?1?1,1???1,1?。

2?1??2?于是PAQ???，利用推论1的（2）可得

?1??2??11(PAQ)?(?2,1???)?2,1???2,1?，

5?1???1?1?而P?1??，Q?1?1，于是 ??01?Q?1A?P?1?1?1，0?， 2由此可见

(PAQ)??Q?1A?P?1。

§6.4 广义逆矩阵与线性方程组

广义逆矩阵与线性方程组有着极为密切的关系。本节将分别介绍{1}-逆及Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用。 6.4.1 ?1?-逆在线性方程组求解问题中的应用

定理1 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是

AA(1)b?b；

且在线性方程组相容的情况下，其通解为

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x?A(1)b?(En?A(1)A)y， （6-3） 其中y?Cn为任意向量。

证明 必要性。设线性方程组（6-1）有解，且x为其解，则

b?Ax?AA(1)Ax?AA(1)(Ax)?AA(1)b。

充分性。令x?A(1)b，则x满足等式（6-1），因此线性方程组（6-1）相容。

下面首先证明在线性方程组（6-1）相容的情况下，等式（6-3）是其解。由于线性方程组（6-1）是相容的，所以存在x0?Cn使得

Ax0?b。

于是

Ax?A[A(1)b?(En?A(1)A)y]?AA(1)b?Ay?AA(1)Ay?AA(1)Ax0?Ay?Ay?Ax0?b

其次证明，对于线性方程组（6-1）的任意一解x0，都存在y?Cn，使得解x0表示成（6-3）的形式。现取y?x0，则

A(1)b?(En?A(1)A)x0?A(1)b?x0?A(1)Ax0

?A(1)b?x0?A(1)b?x0所以此定理的结论成立。

例1 利用矩阵{1}-逆判断线性方程组Ax?b是否相容，如果相容，求其通解，

?1?121??1??，b???1?。 2115其中A?????????01?11????1?? 解答 由于

?1?12?211??01?1E3????100O???010??001?000?1100?5010??1001??0000? 0000??0000?1000???A?E?413

?1??0???0???1??0?0???0现令

010100000110000?1011?232301?1?20000??10?3??1?1?3? 00??00?00??00??0??1?2P????3?2??3则系数矩阵A的等价标准形为

??100???010?，Q????03??1?0?1?3?1?1?2?11?1??， 010??001??EO?PAQ??2?， OO??由6.3节定理1得系数矩阵A的一个{1}-逆为

?EA(1)?Q?2?O?1?3?O???2P??3O????0??0131300?0??0?， ??0?0??容易验证等式AA(1)b?b成立，所以利用定理1可知此线性方程组是相容的；并且其通解为

x?A(1)b?(E4?A(1)A)y

?0??0??1??0??????0??0????0??00?1?2??y1??y?01?1???2?，

010??y3????001??y4?其中y1,y2,y3,y4?C为任意常数。

6.4.2 Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用

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利用{1}-逆可以解决判定线性方程组（6-1）是否相容及在线性方程组相容情况下给出通解的问题。由于Moore-Penrose逆是一种特殊的{1}-逆，所以相应可得下述定理。

定理2 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是

AA?b?b；

且在线性方程组相容的情况下，其通解为

x?A?b?(En?A?A)y， （6-4） 其中y?Cn为任意向量。

由等式（6-4）可知，如果线性方程组（6-1）相容，则当且仅当A?A?En，即rank(A)?n时，其解是唯一的。在实际问题中，常需要求出线性方程组的无穷多个解中范数最小的解，即给出如下定义。

定义1 设线性方程组（6-1）有无穷多个解，则称无穷多个解中范数最小的解x0，即

x0?minx

Ax?b为线性方程组（6-1）的极小范数解（本节所涉及的范数均指2-范数）。

定理3 相容线性方程组（6-1）的唯一极小范数解为x0?A?b。 证明 对于等式（6-4）给出的线性方程组（6-1）的通解x，有

x?xHx?[A?b?(En?A?A)y]H[A?b?(En?A?A)y]

2?A?b?(En?A?A)y22

2?bH(A?)H(En?A?A)y?yH(En?A?A)HA?b?Ab?(En?AA)yH??H?2?

H??2?b[(En?AA)A]y?y(En?AA)Ab?A?b?(En?A?A)y

2由此可见，

x?A?b，

即x0?A?b是相容线性方程组（6-1）的极小范数解；

唯一性。设x1是相容线性方程组（6-1）的极小范数解，则x1?A?b，且存在

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