晶面指数(h k l)代表一组互相平行、晶面间距相等的晶面；指数相同符号相反的晶面互相平行。
晶面指数就是该组晶面中离坐标原点最近的晶面与三条坐标轴的交点坐标值的倒数。
晶面族{hkl}：晶体学等价的晶面总和。
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。另外，在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{hkl}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
例如，在立方晶系中，晶面族{110}又称为十二面体的面。晶面族{111}又称八面体的面。 在立方晶系中：
{100}含：(100), (010), (001)。
{110}含：(110), (101), (011), (1 10), (1 01), (0 1 1)。 {111}含：(111), (1 11), (1 1 1), (1 1 1)。 晶面族{hkl}中的晶面数：
1) h k l三个数不等，且都不等于0，则此晶面族中有3! ? 4=24组，如{1 2 3}
2) h k l有两个数字相等，且都不等于0，则有
3!?4?12组，如{1 1 2} 2!3) h k l三个数相等，则有
3!?4?4 组，如{1 1 1} 3!
有两个为0，应除以22，则有
3!?4?3 组，如 {1 0 0} 22!2此外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是互相垂直的。例如[110]垂直于（110），[111]垂直于（111），等等。
3. 六方晶系指数
六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，按上述三轴坐标系确定的晶胞的六个柱面的晶面指数分别为（100），（010），（110），（100），（010） 和（110）。这种方法标定的晶面指数和晶向指数，不能显示六方晶系的对称性，晶体学上等价的晶面和晶向，其指数却不相类同，往往看不出它们之间的等价关系。为了克服这一缺点，通常采用另一专用于六方晶系的指数。
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120°，这样，其晶面指数就以（h k i l）四个指数来表示。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过3个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i = - (h + k)。晶面指数的具体标定方法同前面一样。
采用这种标定方法，等价的晶面可以从指数上反映出来。例如，上述六个柱面的指数分别为（1010），（0110），（1100），（1010），（0110）和（1100），这六个晶面可归并为{1010}晶面族。
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六方晶系的一些晶向指数和晶面指数
采用四轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述，晶向指数可用[u v t w] 来表示，这里要求u + v = - t，以能保持其唯一性。
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向指数可相互转换如下：对晶面指数而言，从（h k i l）转换成（h k l）只要去掉i即可；反之，则加上i = - (h + k)。对晶向指数而言，则[U V W]与[u v t w]之间的互换关系为：
U?u?t，V?v?t，W?w
11u??2U?V?，v??2V?U?，t???u?v?，w?W
334. 晶带
所有平行或相交于某一晶向直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共带面。 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系：
hu + kv + lw = 0。
凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。
已知三个晶轴[u1 v1 w1]，[u2 v2 w2]和[u3 v3 w3]，若
u1v1u3v3h1k1h3k35. 晶面间距
w1w3l1l3
u2 v2 w2?0， 则三个晶轴同在一个晶面上。
已知三个晶面（h1 k1 l1）, （h2 k2 l2）和（h3 k3 l3）, 若
h2 k2 l2?0， 则此三个晶面同属一个晶带。
晶面指数不同的晶面之间的区别主要在于晶面的位向和晶面间距不同。晶面指数一经确定，晶面的位向和面间距就确定了。
由晶面指数可求出面间距dhkl。通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小。
右图为简单立方点阵不同晶面的面间距的平面图。 其中（100）面的面间距最大，而（320）面的间距最小。此外晶面间距愈大，则该晶面上原子排列愈密集，晶面间距愈小则排列愈稀疏。
晶面间距
晶面间距dhkl与晶面指数（h k l）的关系式可根据右图的几何关系求出。设ABC为距原点O 最近的晶面，其法线N与a, b, c的夹角为?, ?, ?，则得
dhkl?abccos??cos??cos? hkl??h?2?k?2?l?2?dhkl???????????cos2??cos2??cos2?
??a??b??c????晶面间距的推导
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因此，只要算出cos??cos??cos?之值就可求得dhkl。对直角坐标系cos??cos??cos??1，所以，正交晶系的晶面间距计算公式为：
222222dhkl?1?h??k??l??????????a??b??c?222
对立方晶系，由于a = b= c，故上式可简化为： dhkl?ah?k?l222
dhkl?对六方晶系，其晶面间距的计算公式为：
14h?hk?k3a2?22???l????c?2
上述计算公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响。 立方晶系：
（简单晶胞的晶面间距除以1/2） 六方晶系：
（简单晶胞的晶面间距除以1/2） 2.1.3 晶体的对称性
对称性是晶体的基本性质之一。晶体外形的宏观对称性是其内部晶体结构微观对称性的表现。晶体的某些物理参数如热膨胀、弹性模量和光学常数等也与晶体的对称性密切相关。
1. 对称元素
如同某些几何图形一样，自然界的某些物体和晶体中往往存在着或可分割成若干个相同部分，若将这些相同部分借助某些辅助性的、假想的几何要素（点、线、面）变换一下，它们能自身重合复原或者能有规律地重复出现，就像未发生一样，这种性质称为对称性。具有对称性质的图形称为对称图形，而这些假想的几何要素称为对称元素，“变换”或“重复”动作称为对称操作。每一种对称操作必有一对称元素与之相对应。
晶体的对称元素可分为宏观和微观两类。宏观对称元素反映出晶体外形和其宏观性质的对称性，而微观对称元素与宏观对称元素配合运用就能反映出晶体中原子排列的对称性。
fcc 当(hkl)不为全奇、偶数时，有附加面：如{100}, {110}, {010} bcc 当h+k+l=奇数时，有附加面：如{100}, {111}
当h+2k=3n (n=0,1,2,3,...), l=奇数，有附加面：如：{0001}面
a. 宏观对称元素 （1）回转对称轴。
当晶体绕某一轴回转而能完全复原时，此轴即为回转对称轴。
注意：该轴线定要通过晶格单元的几何中心，且位于该几何中心与角顶或棱边的中心或面心的连线上。在回转一周的过程中，晶体能复原n次，就称为n次对称轴。
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晶体中实际可能存在的对称轴有1，2，3，4和6次五种，并用国际符号1，2，3，4和6来表示。
晶体中的旋转轴次可通过晶格单元在空间密排和晶体的对称性定律加以验证。
对称轴
（2）对称面。
晶体通过某一平面作镜像反映而能复原，则该平面称为对称面或镜面（图中B1 B2 B3 B4面），用符号m表示。对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过晶体几何中心。
对称面
（3）对称中心。
若晶体中所有的点在经过某一点反演后能复原，则该点就称为对称中心（图中O点），用符号i表示。对称中心必然位于晶体中的几何中心处。
对称中心
（4）回转-反演
若晶体绕某一轴回转一定角度（360°/n），再以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此轴称为回转-反演轴。图中，P点绕BB′轴回转180°与P3点重合，再经O点反演而与P′重合，则称BB′为2次回转-反演轴。回转-反演轴有1，2，3，4和6次五种，分别以符号1，2，3，4，6来表示。事实上，1与对称中心i等效；2与对称面m等效；3与3次旋转轴加上对称中心i等效；6则与3次旋转轴加上一个与它垂直的对称面等效。
晶体的宏观对称元素及对称操作 对称元素 辅助几何要素 对称操作 基转角?/（?） 国际符号 等效对称元素 b. 微观对称元素
包含有平移动作的两种对称元素，滑动面和螺旋轴。 （1）滑动面。
由一个对称面加上沿着此面的平移所组成，晶体结构可借此面的反映并沿此面平移一定距离而复原。 滑动面的表示符号如下：如平移为a/2，b/2或c/2时，写作a，b或c；如沿对角线平移1/2距离，则写作n；如沿着面对角线平移1/4距离，则写作d。
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回转-反演轴
对称轴 1次 360 1 2次 180 2 120 3 3次 90 4 4次 60 6 6次 对称中心 点 对点反演 i 1 对称面 平面 m 2 回转-反演轴 3次 120 3 90 4 3+i 4次 60 6 3+m 6次 对面反映 （2）螺旋轴。
螺旋轴由回转轴和平行于轴的平移所构成。晶体结构可借绕螺旋轴回转360°/n角度同时沿轴平移一定距离而得到重合，此螺旋轴称为n次螺旋轴。螺旋轴可按其回转方向而有右旋和左旋之分。
螺旋轴有2次（平移距离为c/2，不分右旋和左旋。记为21）、3次（平移距离为c/3，分为右旋或左旋，记为31或32）、4次（平移距离c/4或c/2，前者分为右旋或左旋，记为41或43，后者不分左右旋，记为42）、6次（平移距离c/6，分右旋或左旋，记为61或65；平移距离c/3，分右旋或左旋，记为62或64；平移距离为c/2，不分左右旋，记为63）几种。
2. 32种点群及空间群
点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。点群在宏观上表现为晶体外形的对称。
晶体外形中只能有32种对称点群。这是因为：①点对称与平移对称两者是共存于晶体结构中，它们相互协调，彼此制约；②点对称元素组合时必须通过一个公共点，必须遵循一定的规则，使组合的对称元素之间能够自洽。
根据六个点阵参数间的相互关系可将晶体分为7种晶系，而按其对称性又有32种点群，这表明同属一种晶系的晶体可为不同的点群。因为晶体的对称性不仅决定于所属晶系，还决定于其阵点上的原子组合情况。
空间群用以描述晶体中原子组合所有可能的方式，是确定晶体结构的依据，它是通过宏观和微观对称元素在三维空间的组合而得出的。属于同一点阵的晶体可因其微观对称元素的不同而分属于不同的空间群。晶体中可能存在的空间群有230种，分属于32个点群。 2.1.4 极射投影
在进行晶体结构的分析研究时，往往要确定晶体的取向、晶面或晶向间的夹角等。通过投影作图可将三维立体图形转化到二维平面上去。
1. 极射投影原理
将被研究的晶体放在一个球的球心上，这个球称为参考球。假定晶体尺寸与参考球相比很小，就可以认为晶体中所有晶面的法线和晶向均通过球心。将代表每个特定晶面或晶向的直线从球心出发向外延长，与参考球球面交于一点，这一点即为该晶面或晶向的代表点，称为该晶面或晶向的极点。极点的相互位置即可用来确定与之相对应的晶向和晶面之间的夹角。
首先，在参考球中选定一条过球心C的直线AB（直线），过A 点作一平面与参考球相切，该平面即为投影面，也称极射面。若球面上有一极点P，连接BP并延长之，使其与投影面相交于P′，P′即为极点P在投影面上的极射投影。过球心作一平面NESW与AB垂直（与投影面平行），它在球面上形成一个直径与球径相等的圆称大圆。大圆在投影面上的投影为N′E′S′W′也是一个圆，称为基圆。所有位于左半球球面上的极点，投影后的极射投影点均将落在基圆之内。然后将投影面移至B点，并以A点为投影点，将所有位于右半球球面上的极点投射到位于B处的投影面上，并冠以负号。最后将A处和B处的极射投影图重叠地画在一张图上。这样，球面上所有可能出现的极点，都可以包括在同一张极射投影图上。
极射投影原理图
参考球上包含直线AB的大圆在投影面上的投影为一直线，其他大圆投影到投影面上时则均呈圆弧形（两头包含基圆直径的弧段），而球面上不包含参考球直径的小圆，投影的结果既可能是一段弧，也可能是一个圆，不过其圆心将不在投影圆的圆心上。投影面的位置沿AB线或其延长线移动时，仅图形的放大率改变，而投影点的相对位置不发生改变。投影面也可以置于球心，这时基圆与大圆重合。如果把参考球看似地球，A点为北极，B点为南极，过球心的投影面就是地球的赤道平面。以地球的一个极为投射点，将球面投射到赤道平面上就称为极射赤面投影；投影面不是赤道平面的，则称为极射平面投影。
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